第二章 鼓形齒輪聯(lián)軸器嚙合分析
在理想的狀態(tài)下齒輪聯(lián)軸器聯(lián)接的兩段軸完全對(duì)中，內(nèi)外齒輪沒有相對(duì)偏斜，各對(duì)應(yīng)齒對(duì)的嚙合狀態(tài)完全相同，所承受的負(fù)荷也完全相同。但在實(shí)際機(jī)組中，齒輪聯(lián)軸器聯(lián)接的兩段軸并不完全對(duì)中，使其內(nèi)齒圈和外齒套存在各種相對(duì)偏斜，這時(shí)各對(duì)齒嚙合位置及負(fù)荷都將發(fā)生變化，從面引起聯(lián)軸器附加力和力矩變化。導(dǎo)致整個(gè)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的改變。本章作為研究鼓形齒輪聯(lián)軸器的基礎(chǔ)，對(duì)齒輪聯(lián)軸器在零負(fù)荷或輕負(fù)荷條件下，對(duì)內(nèi)外圈發(fā)生相對(duì)偏斜進(jìn)行齒面嚙合狀成分析，得到在不同狀態(tài)下各個(gè)的齒對(duì)齒面相對(duì)了最小間隙、所在位置以及等間隙曲線，計(jì)算結(jié)果與Heinz計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較，綜合兩方面的結(jié)論為下一章齒輪聯(lián)軸器力學(xué)模型簡(jiǎn)化提供依據(jù)。
§2.1 齒輪聯(lián)軸器齒形方程
§2.1.1 內(nèi)齒輪齒形方程
在鼓形齒聯(lián)軸器中由于內(nèi)齒加工困難，一般不進(jìn)行鼓形修整及其它修形，因此內(nèi)齒圈的齒在分度圓的切面內(nèi)為直線，在垂直于軸線截面內(nèi)其齒形都是標(biāo)準(zhǔn)漸開線。如圖2.1為內(nèi)齒輪沿軸向任意
處垂直軸線截面的齒廓的形狀，為了計(jì)算方便采用柱坐標(biāo)，以齒輪的中心為原點(diǎn)，齒厚的對(duì)稱線為極軸，齒廓上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為：
式中：θN:是內(nèi)齒坐標(biāo)極角，正負(fù)號(hào)分別表示上下側(cè)齒廓；
α：為壓力角（20°或25°）；
：為
、
處的壓力角；
Rb：基圓半徑；I=1，2，3……Nz，Nz：齒個(gè)數(shù)；
βN ：分度圓齒厚夾角之半；上標(biāo)N：代表內(nèi)齒輪。
§2.1.2 外齒輪齒形方程
為了避免因?yàn)辇X輪聯(lián)軸器結(jié)構(gòu)誤差或內(nèi)外齒輪不對(duì)中誤差而引起齒端面和齒頂發(fā)生強(qiáng)烈火的接觸，一般對(duì)齒輪聯(lián)軸器的外齒進(jìn)行鼓形修型，此外齒輪稱為鼓形齒輪，一般鼓形齒是通過滾齒機(jī)經(jīng)過圓弧送切形成的。如圖2.2所示在分度圓切面內(nèi)A-A向齒開為弧線，在垂直于軸線截面內(nèi)其齒形近似為漸開線，齒寬中央是正常齒厚，而離形齒寬中央使外齒輪負(fù)方向變位逐漸增加，齒厚減速薄齒寬方向形成鼓形，
為鼓形修形量。
Rc=Rc/ctgα；Rc圓弧送刀半徑；
如果以齒寬心處圓心為原點(diǎn)，聯(lián)軸向?yàn)閆w，以齒厚的中線為極軸，垂直于軸線方向的任意截面上的齒形如圖2.3，半徑為
，軸向坐標(biāo)為
，柱坐標(biāo)方程為：
式中：θw：是內(nèi)齒坐標(biāo)極角，正負(fù)號(hào)分別表示上下側(cè)齒廓；
α:為壓力角（20°或25°）；
：為
、
處的壓力角；
Rb：基圓半徑；I=1，2，3……Nz，Nz：齒個(gè)數(shù)；
βow: 分度圓齒厚夾角之半；Rp：分度圓半徑；
:鼓形修形量（
、
處的單連減薄量），上標(biāo)w：表示外齒輪。
§2.2 齒輪聯(lián)軸器三維嚙合分析
§2.2.1 相對(duì)徑向位移嚙合分析
當(dāng)齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒軸線發(fā)生徑向位移Δx，Δy時(shí)，內(nèi)外齒之間相對(duì)位置及嚙合狀態(tài)與零齒差內(nèi)外齒輪傳動(dòng)相似，即嚙合線沿相對(duì)位移e的方向，嚙合角為90°。如圖2.4所示：設(shè)內(nèi)齒輪為主動(dòng)輪由于只有徑向位移且外齒為鼓形齒，所以內(nèi)外齒在齒寬中央截面處齒廓上嚙合，設(shè)ON-XNYN固結(jié)在內(nèi)齒輪上，其上一點(diǎn)M（xN，yN），Ow-XwYw固結(jié)外齒輪坐標(biāo)其上一點(diǎn)為N（xw，yw）
§2.2.2 相結(jié)轉(zhuǎn)角位移三維嚙合狀成
當(dāng)齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪只發(fā)生軸線間的相對(duì)轉(zhuǎn)角傾斜時(shí)，它們相對(duì)位置關(guān)系如圖2.5以兩軸線的交點(diǎn)O（OWON）為原點(diǎn)，取空間坐標(biāo)系ON-XNYNZN固定在內(nèi)齒上，OW-XWYWZW固定在外齒上，外齒相對(duì)內(nèi)齒轉(zhuǎn)角位移Δ
Δψ；Δ
Δψ是繞YW，XW軸相對(duì)傾斜角。內(nèi)外齒輪分別經(jīng)ZN，ZW為軸線進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，其轉(zhuǎn)角分別為θ，θ′，由2.1,2.4式可以確定內(nèi)外齒各齒面的極坐標(biāo)，則內(nèi)外齒齒廓在直角坐標(biāo)系中ON-XNYNZN,OW-XWYWZW的坐標(biāo)分別為：
圖2.6是圖2.5的三維表示方法，對(duì)于內(nèi)外齒一對(duì)對(duì)應(yīng)齒來(lái)說(shuō)（設(shè)內(nèi)齒輪為主動(dòng)輪）當(dāng)內(nèi)齒輪齒轉(zhuǎn)過θ，ON-XNYNZN，齒廓上的一點(diǎn)A（xAN，yAN,zAN）也轉(zhuǎn)過θ到達(dá)A′（xAN，yAN,zAN），相應(yīng)外齒的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B（xBw，yBw,zBw）要轉(zhuǎn)過θ到達(dá)B′（xBw，yBw,zBw）才參與A′點(diǎn)重合。如果把內(nèi)齒第I個(gè)齒面沿徑向劃分為N條網(wǎng)格，軸向劃分為M條網(wǎng)格，共劃分成N×M個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，在內(nèi)齒輪上Aij-轉(zhuǎn)過θ角后到達(dá)A′ij，外齒輪上與之對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Bij需要轉(zhuǎn)過θ′ij才能與點(diǎn)A′ij重合，第I個(gè)齒對(duì)的整個(gè)N×M個(gè)點(diǎn)中外齒輪轉(zhuǎn)過
所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為該齒對(duì)有載荷時(shí)優(yōu)先嚙合的點(diǎn)，即無(wú)載荷時(shí)的最小間隙點(diǎn)。對(duì)于所有NZ個(gè)齒來(lái)說(shuō)：在內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過θ后，每個(gè)齒對(duì)都有一個(gè)優(yōu)選嚙合的點(diǎn)，使外齒輪轉(zhuǎn)過的角度最大
，其中最大值
所對(duì)應(yīng)齒對(duì)上的點(diǎn)則為內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過θ后，NZ個(gè)齒中最先嚙合的齒對(duì)上的嚙合點(diǎn)，則在內(nèi)齒輪轉(zhuǎn)過θ時(shí)，對(duì)應(yīng)齒對(duì)圓周方向間隙為：
如果內(nèi)齒輪旋轉(zhuǎn)角θ從0～2π變化時(shí)，則通過上面的方法可以求得內(nèi)外齒輪旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，內(nèi)外齒輪各個(gè)齒對(duì)全齒廓的嚙合狀態(tài)，從面得到每個(gè)齒對(duì)的最小嚙合間隙的大小、嚙合位置以及每個(gè)齒對(duì)的等間隙曲線。
以上的方法同樣也實(shí)用外齒輪為主動(dòng)輪場(chǎng)合。
§2.2.3 轉(zhuǎn)角和徑向位移三維嚙合狀態(tài)
與純的轉(zhuǎn)角相似坐OW-XWYWZW——ON-XNYNZN標(biāo)變換為:
同樣可以得到內(nèi)外齒輪各個(gè)齒對(duì)齒廓的嚙合狀態(tài)，每個(gè)齒對(duì)的最小嚙合間隙的大小，和嚙合位置以及每個(gè)齒對(duì)的等間隙曲線。
§2.3 計(jì)算結(jié)果及分析
§2.3.1 齒輪聯(lián)軸器參數(shù)
表2.1齒輪聯(lián)軸器參數(shù)
| 模數(shù) |
30mm |
齒數(shù) |
56 |
| 壓力角 |
20° |
# |
# |
| 內(nèi)齒輪 |
外齒輪 |
| 齒寬 |
40mm |
齒寬 |
40mm |
| 鼓形量 |
# |
鼓形量 |
156mm |
| 變位系數(shù) |
0.3 |
變位系數(shù) |
0 |
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