第五章齒輪聯(lián)軸器耦合軸系動力學分析及穩(wěn)定性研究
§5.1 引言
長期以來，齒輪作為一個重要的聯(lián)結(jié)件，其軸系的振動和噪音一直為工程界所關(guān)注，由于這些問題和齒傳輸線動載荷密切相關(guān)，所以齒輪動力學研究一個得要內(nèi)容就是確定輪齒上的動載荷，但是一般都是對外齒輪系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)、彎曲，扭彎耦合振動分析，而作為另一個重要的聯(lián)接件齒輪聯(lián)軸器研究很少。從以往對齒輪聯(lián)軸器的研究來看，大多對其連接的簡單軸系的單純彎曲振動、軸向振動和扭轉(zhuǎn)振動進行研究、而對其軸系的彎扭耦合特性研究卻很少，本章在前幾章的基礎(chǔ)上，對半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的耦合特性進行研究；為了突出齒輪聯(lián)軸器，忽略支撐的影響，討論剛性支承齒輪聯(lián)軸器軸系的系統(tǒng)模態(tài)、特征值。揭示了齒輪軸系彎扭耦合振動的特征，并說明齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒相對偏心（轉(zhuǎn)角、徑向）是造成齒輪聯(lián)軸器連接軸系彎扭耦合的主要原因。
最后對某實際DH型透平壓縮機齒輪聯(lián)軸器聯(lián)接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進行了動力學計算和分析，對于考慮齒輪聯(lián)軸器與不考慮齒輪聯(lián)軸器兩種情況下對系統(tǒng)的特征值、穩(wěn)定性進行了計算分析，說明其影響系統(tǒng)固有頻率和穩(wěn)定性的原因。
§5.2 研究對象及系統(tǒng)方程
圖5.1所示半齒聯(lián)軸器系統(tǒng)，本章計處聯(lián)1軸長a1=600mm、a2=150mm直徑d1=30mm、質(zhì)量G1=8.36kg，極轉(zhuǎn)動慣量I1=30000kgmm，軸2長b1=800mm，b2=100mm直徑d2=20mm、質(zhì)量G2=5.66kg、極轉(zhuǎn)動慣量I2=6300kgmm2，兩軸皆為鉸友；轉(zhuǎn)子位于軸的中央。齒輪聯(lián)軸器齒輪模數(shù)Mn=2mm齒數(shù)Nz=25，齒寬B1=B2=20mm，內(nèi)齒輪質(zhì)量為G2=2kg、極轉(zhuǎn)動慣量I2=1000kgmm2，外齒輪質(zhì)量為G2=1kg、極轉(zhuǎn)動慣量I2=500kgmm2， 鼓形量Rc=155mm、兩段軸分別被離散成10個節(jié)點，集中質(zhì)量分別位于第4、7個節(jié)點上，傳遞扭矩T=600Kgmm2按照第三章、第四章求得齒輪聯(lián)軸器的剛度列出振動方程：M
。
§5.3 齒傳輸線聯(lián)軸器耦合對系統(tǒng)因有頻率及振型的影響
支承靜態(tài)標高為零時，表5.1和表5.2分別給出了耦合前一些轉(zhuǎn)速下軸1和軸2前9階的固有頻率，圖5.2和圖5.3分別是這些固有頻率對應(yīng)的軸1和軸2的振型圖，實點表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點表示彎曲振型，模坐標代表質(zhì)點位。從圖5.2和圖5.3中可以看到，耦合前由于轉(zhuǎn)子彎曲振動與扭轉(zhuǎn)振動是解耦的，所以圖中轉(zhuǎn)子的振型要么是純粹的彎曲振型，要么就是純粹的扭轉(zhuǎn)振型。
表5.3是耦合系統(tǒng)在同樣的轉(zhuǎn)速下，前18階的固有頻率，圖5.4是這些固有頻率對應(yīng)的耦合狀態(tài)下轉(zhuǎn)子的振型；橫坐標質(zhì)點1～10代表軸1、11～20代表軸2；縱坐標為振型；實點表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點表示彎曲振型。
將表5.1、表5.2和表5.3進行對比后可以發(fā)生，在每一個轉(zhuǎn)速下，耦合后的固有頻率變得比較密集，表5.1和表5.2中的固有頻率都可以在表5.3中找到與之乎相同的對應(yīng)值，而且耦合后頻率值比耦合前的略高，這主要是因齒輪聯(lián)軸的加入，相當于給系統(tǒng)增加了約束。觀察這些固有頻率對應(yīng)的振型，凡表5.3與表5.1中相接近的固有頻率，在耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)振型軸1的主振動的成分占主要地位，例如圖5.4中mode3、mode16對應(yīng)圖5.2的mode3、mode5；凡表5.3與表5.2中相接近的固有頻率，在耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)振型軸2的主振動成分占主要地位，只有很小的軸1成分，而且振型形狀也和耦合前形態(tài)基本相同，例如圖5.4中mode1、5、6、14、17對應(yīng)圖5.3的mode1、2、3、6、7等；這說明齒輪聯(lián)軸器耦合對這些固有頻率和振型影響很小。
但是，另外我們可以發(fā)現(xiàn)，在表5.3中出現(xiàn)了許多表5.1和表5.2中所沒有的新的固有頻率如λ4co，λ7co，λ8co，λ11co，λ12co，λ13co，觀察這些因有頻率所對應(yīng)的振型，可以發(fā)現(xiàn)，它們對應(yīng)又可分為三種，1.純的彎曲耦合振型λ7co，λ8co對應(yīng)振型圖5.4中mode7、8；2.純的扭轉(zhuǎn)耦合振型λ4co，λ13co對應(yīng)振型圖5.4中mode4、13；3.彎扭振型相迭加的復振型——彎扭耦合振型λ11co，λ12co對應(yīng)振型圖5.4中mode11、12。這種彎耦合振型是由于齒輪聯(lián)軸器的耦合作用而新產(chǎn)生的，這是齒輪軸系統(tǒng)區(qū)別于一般單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要特征之一，由于彎扭耦合模態(tài)的產(chǎn)生，決定了軸系統(tǒng)的振動是彎扭耦合振動。
表5.1 耦合前軸1特征值（λiun無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
13.312 |
46.964 |
97.788 |
99.119 |
118.030 |
233.320 |
276.730 |
378.57 |
509.21 |
| 600． |
6.655 |
23.455 |
48.565 |
49.895 |
59.017 |
116.610 |
138.260 |
189.280 |
254.350 |
| 900. |
4.436 |
15.618 |
32.158 |
33.489 |
39.345 |
77.703 |
92.107 |
126.190 |
169.400 |
| 1200. |
3.327 |
11.700 |
23.956 |
25.286 |
29.509 |
58.250 |
69.030 |
94.642 |
126.930 |
| 1500. |
2.661 |
9.348 |
19.036 |
20.366 |
23.607 |
46.579 |
55.184 |
75.714 |
101.440 |
| 1800. |
2.217 |
7.781 |
15.757 |
17.086 |
19.672 |
38.798 |
45.954 |
63.095 |
84.452 |
| 2100. |
1.900 |
6.661 |
13.415 |
14.744 |
16.862 |
33.241 |
39.362 |
54.081 |
72.316 |
| 2400. |
1.662 |
5.821 |
11.659 |
12.988 |
14.754 |
29.073 |
34.418 |
47.321 |
63.214 |
橫坐標為質(zhì)點，縱坐標為振型。
表5.2 耦合前軸2特征值（λiun無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
4.848 |
29.074 |
55.516 |
75.593 |
96.667 |
148.060 |
245.010 |
268.190 |
298.310 |
| 600． |
2.424 |
14.828 |
27.662 |
37.796 |
48.301 |
73.776 |
122.490 |
133.990 |
149.160 |
| 900. |
1.616 |
9.869 |
18.378 |
25.198 |
32.179 |
49.016 |
81.649 |
89.262 |
99.437 |
| 1200. |
1.212 |
7.390 |
13.735 |
18.898 |
24.118 |
36.637 |
61.229 |
66.898 |
74.578 |
| 1500. |
0.969 |
5.902 |
10.950 |
15.119 |
19.281 |
29.211 |
48.977 |
53.480 |
59.662 |
| 1800. |
0.808 |
4.910 |
9.092 |
12.599 |
16.056 |
24.261 |
40.809 |
44.536 |
49.719 |
| 2100. |
0.692 |
4.201 |
7.766 |
10.799 |
13.753 |
20.727 |
34.975 |
38.147 |
42.616 |
| 2400. |
0.606 |
3.670 |
6.771 |
9.449 |
12.026 |
18.076 |
30.599 |
33.356 |
37.289 |
橫坐標為軸2離散質(zhì)點�？v坐標為振型。
表5.3 無標高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
6.785 |
6.804 |
16.913 |
19.941 |
51.492 |
51.938 |
72.781 |
75.240 |
94.718 |
| 600． |
3.393 |
3.402 |
8.457 |
9.970 |
25.644 |
26.070 |
36.377 |
37.627 |
47.263 |
| 900. |
2.262 |
2.268 |
5.638 |
6.647 |
17.026 |
17.449 |
24.236 |
25.093 |
31.442 |
| 1200. |
1.696 |
1.701 |
4.228 |
4.985 |
12.716 |
13.138 |
18.162 |
18.827 |
23.530 |
| 1500. |
1.357 |
1.361 |
3.383 |
3.988 |
10.131 |
10.552 |
14.514 |
15.069 |
18.781 |
| 1800. |
1.131 |
1.134 |
2.819 |
3.323 |
8.407 |
8.827 |
12.080 |
12.565 |
15.613 |
| 2100. |
0.969 |
0.972 |
2.416 |
2.849 |
7.175 |
7.595 |
10.339 |
10.777 |
13.350 |
| 2400. |
0.848 |
0.851 |
2.114 |
2.493 |
6.251 |
6.671 |
9.032 |
9.436 |
11.651 |
續(xù)表5.3無標高耦合系統(tǒng)特征值（λico 無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
95.077 |
103.410 |
105.040 |
106.930 |
147.710 |
148.750 |
234.320 |
244.950 |
268.230 |
| 600． |
47.623 |
51.555 |
52.693 |
53.463 |
73.602 |
74.639 |
117.150 |
122.480 |
134.080 |
| 900. |
31.802 |
34.252 |
35.272 |
35.642 |
48.899 |
49.936 |
78.098 |
81.651 |
89.354 |
| 1200. |
23.890 |
25.598 |
26.572 |
26.732 |
36.549 |
37.586 |
58.567 |
61.238 |
66.975 |
| 1500. |
19.142 |
20.406 |
21.357 |
21.386 |
29.141 |
30.177 |
46.848 |
48.990 |
53.527 |
| 1800. |
15.975 |
16.947 |
17.820 |
17.885 |
24.202 |
25.238 |
39.033 |
40.825 |
44.507 |
| 2100. |
13.713 |
14.478 |
15.275 |
15.407 |
20.675 |
21.712 |
33.449 |
34.992 |
37.619 |
| 2400. |
12.015 |
12.627 |
13.365 |
13.5550 |
18.031 |
19.067 |
29.259 |
30.618 |
31.890 |
我們從振型圖5.4中還可以看出，在支承靜態(tài)標高為零，其耦合后純的彎曲耦合模態(tài)、純的扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)比較明顯；而彎扭振型相迭加的復合振型——彎曲耦合模態(tài)很不明顯。這主要因為齒輪聯(lián)軸器連接的兩段軸對中性很好時，齒輪聯(lián)同器靠自身的重果和轉(zhuǎn)子的重量引起的內(nèi)外的向?qū)ξ灰品浅Ｐ。X輪聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)和彎曲交叉剛度非常小，其數(shù)值如表5.4。這可以把聯(lián)軸器看成是一個軸段來處理這是一個彎扭解耦模型，在以往計算中一般都采用當量軸段來代替齒輪聯(lián)軸器。但這是在支承對中性很好的情況下的處理方法，下面我們在支承有一定靜態(tài)標高下討論齒輪聯(lián)軸器彎扭效應(yīng)。
表5.4齒輪聯(lián)軸器剛度（K無量綱）
| |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.2748 |
-1.939e-4 |
5.207e-5 |
1.654e-3 |
-8.078e-3 |
| K |
y |
-1.939e-4 |
0.2751 |
1.568e-2 |
5.207e-5 |
-3.817e-3 |
| K |
φ |
5.207e-5 |
1568e-2 |
5.148e-3 |
-1.067e-5 |
1.031e-3 |
| K |
ψ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
-1.067e-5 |
5.131e-3 |
2.192e-3 |
| K |
θ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
1.031e-3 |
2.192e-3 |
0.7058 |
§5.4齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪不對中對系統(tǒng)固有頻率振型的影響
我們?nèi)】拷?lián)軸器的兩個支承的靜態(tài)標高分別為：x1=0.0mm,y1=0.1mm,x2=0.0mm,y2=0.1mm,使聯(lián)軸器的內(nèi)外齒輪存在一定靜態(tài)相對位移。表5.5是有靜態(tài)標高下耦合系統(tǒng)在表5.1、5.2同樣轉(zhuǎn)速下前18階的固有頻率，圖5.5是這些固有頻率對應(yīng)的耦合狀態(tài)下轉(zhuǎn)子的振型；橫坐標質(zhì)點1～10代表軸1，質(zhì)點點11～20代表軸2；縱坐標為振型，實點表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點表示彎曲振型。
將表5.1、表5.2和表5.5進行對比后可以發(fā)現(xiàn)，在每一個轉(zhuǎn)速下，耦合后的固有頻率變得比較密集，除與靜態(tài)標高為零時相同的性質(zhì)外，其出現(xiàn)了許多表5.1和表5.2、5.4中沒有的新的固有頻率其對應(yīng)的彎扭振型相迭加的復合振型—彎扭耦合振型，如表5.5中固有頻率λ8co、λ10co、λ11co、λ12co、λ14co、λ15co、λ18co對應(yīng)振型其振型比較復雜圖5.5中mode8、10、11、12、14、15、18等，同時我
表5.5 有標高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
5.892 |
6.777 |
16.657 |
17.070 |
19.270 |
30.101 |
38.613 |
51.768 |
57.107 |
| 600． |
2.946 |
3.389 |
8.328 |
8.539 |
9.639 |
15.051 |
19.305 |
25.876 |
28.562 |
| 900. |
1.964 |
2.259 |
5.552 |
5.693 |
6.426 |
10.034 |
12.869 |
17.241 |
19.050 |
| 1200. |
1.473 |
1.694 |
4.164 |
4.269 |
4.819 |
7.525 |
9.650 |
12.922 |
14.297 |
| 1500. |
1.178 |
1.355 |
3.331 |
43.415 |
3.855 |
6.020 |
7.718 |
10.328 |
11.447 |
| 1800. |
0.982 |
1.130 |
2.776 |
2.846 |
3.213 |
5.017 |
6.430 |
8.597 |
9.549 |
| 2100. |
0.842 |
0.968 |
2.379 |
2.440 |
2.754 |
4.300 |
5.510 |
7.359 |
8.194 |
| 2400. |
0.736 |
0.847 |
2.082 |
2.135 |
2.410 |
3.763 |
4.819 |
6.430 |
7.179 |
續(xù)表5.5 有標高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
71.181 |
88.041 |
94.961 |
97.042 |
103.240 |
120.830 |
147.860 |
148.980 |
233.930 |
| 600． |
35.585 |
43.990 |
47.487 |
48.520 |
51.644 |
60.427 |
73.687 |
74.743 |
116.760 |
| 900. |
23.717 |
29.294 |
31.666 |
32.347 |
34.455 |
40.298 |
48.959 |
50.002 |
77.906 |
| 1200. |
17.781 |
21.937 |
23.756 |
24.260 |
25.868 |
30.237 |
36.596 |
37.634 |
58.459 |
| 1500. |
14.218 |
17.517 |
19.011 |
19.408 |
20.720 |
24.203 |
29.179 |
30.215 |
46.780 |
| 1800. |
11.841 |
14.566 |
15.848 |
16.173 |
17.293 |
20.184 |
24.234 |
25.269 |
38.987 |
| 2100. |
10.142 |
12.455 |
13.589 |
13.864 |
14.847 |
17.315 |
20.704 |
21.738 |
33.417 |
| 2400. |
8.867 |
10.869 |
11.894 |
12.132 |
13.015 |
15.165 |
18.056 |
19.089 |
29.238 |
們還可以看出，系統(tǒng)彎扭耦合成分羅內(nèi)外齒對中時明顯；同時我們從振型中還可以發(fā)現(xiàn)一些以原來耦合前固有振型為主要成分同時夾雜少量的彎扭耦合的成分振型如圖5.5中mode1、4、13、16分別對應(yīng)耦合前軸2mode1、軸1mode1、軸2mode5、mode7。
彎扭耦合現(xiàn)象變得明顯的原因主要可能是：靜態(tài)標高的存在使聯(lián)軸器交叉剛度相對增加，尤其是與摶轉(zhuǎn)方向交叉剛度，如表5.6是耦合后聯(lián)軸器的剛度，其中與扭轉(zhuǎn)方向的交叉剛度有所增加。
表5.6齒輪聯(lián)軸器剛度（K無量綱）
| 剛度 |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.64103 |
-9.087e-5 |
4.7487e-4 |
2.460e-4 |
-1.29e-3 |
| K |
y |
-9.087e-5 |
0.1312 |
1.131e-3 |
4.748e-4 |
0.1775 |
| K |
φ |
4.7487e-4 |
1.131e-3 |
2.385e-5 |
-5.009e-5 |
1.402e-3 |
| K |
ψ |
2.460e-4 |
4.748e-4 |
-5.009e-5 |
1.1672e-3 |
8.3585e-4 |
| K |
θ |
-1.29e-3 |
0.1775 |
1.402e-3 |
8.3585e-4 |
0.2507 |
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