第四章 強(qiáng)非線性系統(tǒng)的頻閃—諧波平衡法
4-1 引言
在探索具有非線性遲滯特性元件的系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解方法時(shí)，我們擬研究以下系統(tǒng)：
M
+
（x，
，A，ω）=Pcosωt （4-1）
式中M為系統(tǒng)質(zhì)量，P為激勵(lì)力幅值，ω為激勵(lì)園頻率（x，，A，ω）=1（A，x）+2（A，ω，），1和2分別為上章中的（3-12）和（3-41）式。為研究方便，將（3-12）和（3-41）式代入（4-1）式并改寫成以下形式：
式中K1（A），K3（A），K5（A），K7（A），K9（A）為（3-27）式。由式（4-2）可知，這一系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)非線性非自治系統(tǒng)。
目前文獻(xiàn)上的一些方法對(duì)于弱非線性系統(tǒng)是有效的，而對(duì)于（4-2）式的強(qiáng)非線性系統(tǒng)則遇到了麻煩。由于描述非線性振動(dòng)系統(tǒng)的微分方程種類繁多，沒有普遍的解法，因此，仍然只有極少非線性振動(dòng)方程可求得精確解。可行的辦法是針對(duì)不同非線性振動(dòng)方程的特點(diǎn)尋求一些近似數(shù)值解法。為研究方便，將（4-2）式進(jìn)一步寫成以下形式：
式中：
f（x，，t）=-μ+δcosωt （4-6）
ε為正小參數(shù)。
對(duì)于形如（4-4）式這樣的強(qiáng)非線性系統(tǒng)，李驪提出了一種新的頻閃法，近年，杜惠英和李驪用頻閃法研究了含有x5項(xiàng)強(qiáng)非線性系統(tǒng)的共振解和亞諧解雖然原則上該方法可適用于任意階強(qiáng)非線性系統(tǒng)，但是在實(shí)際應(yīng)用中對(duì)更高階項(xiàng)會(huì)遇到積分計(jì)算問題，大大地限制了這種方法用于高階強(qiáng)非線性系統(tǒng)的研究。為了解決積分計(jì)算的困擾，本章提出一種新的方法—頻閃—諧波平衡法。
4-2 頻閃—諧波平衡法
式中
=
g/x，然后將（4-22），（4-23）及f（x，，t）在rcosθ+b與-rф0sinθ鄰域內(nèi)以ε冪級(jí)數(shù)展開式代入（4-4）式，由等號(hào)兩端ε的系數(shù)相等得：
式中f=f（rcosθ+b，-rф0sinθ，t），在進(jìn)行以上積分時(shí)f中的時(shí)間t 代入以θ表示的函數(shù)，求法如下：
因?yàn)锳1，x1，ф1各式右端均為ε=0時(shí)（4-19）中第二式和第三式中ε=0得：
由此兩式可求得r=常數(shù)，θ=θ（r，
，t）然后可求出反函數(shù)t=t（r，，θ）。由于t式中包含θ0的初值，因此由（4-26）～（4-28）式求得的A1，x1，ф1中也必然所含，即A1（r，）， x1（r，），ф1（r，，θ0）。
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