3 機構(gòu)受力分析
3.1 過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)
運動構(gòu)件滿足靜定條件時，可按剛體力學原理進行分析。當機構(gòu)中存在虛約束時，運動鏈不再滿足靜定條件，機構(gòu)的受力分析無法由剛體力學的方法完全確定，這種機構(gòu)稱為靜不定的約束機構(gòu)，過約束機構(gòu)的計算自由度小于實際自由度。
對于連桿行星齒輪傳動機構(gòu)，為了克服機構(gòu)運動的不確定點，一般采用多相并列雙曲柄平行四力形機構(gòu)或多曲柄平行四邊形機構(gòu)作為輸入機構(gòu)，因此，它是多次靜不定的過約束機構(gòu)。要完全確定機構(gòu)的約束反力，必須尋求與其靜不定次數(shù)相同數(shù)目的位移協(xié)調(diào)補充方程。過約束機構(gòu)的靜不定次數(shù)與運動構(gòu)件數(shù)、運動副類型及其數(shù)量等有關(guān)。對于少齒差連桿行星齒輪傳動機構(gòu)，由于輪齒的分擔載荷大小與嚙合數(shù)有關(guān)，機構(gòu)的運轉(zhuǎn)工況角以及構(gòu)件的變形情況等因素有關(guān)，所以運動副數(shù)目也隨之變化[34，35，29]。
對于一個任意的空間機構(gòu)，如果有n個運動構(gòu)件，就能列出6n個動力分析方程，即可以求解確定6n個未知數(shù)。未知量的數(shù)量可以由以下兩部分確定：即運動副中的約束反力未知分量與反力矩未知分量數(shù)，作用在輸入構(gòu)件上的輸入力矩或輸入力偶。一個運動副如沿某軸線有相對移動自由度，則沿該軸線的約束軸線的約束反力矩為零。因此，當一動動副的級別為K時，其約束反力的分量數(shù)為Pk，設(shè)每一輸入構(gòu)件上存在力或力偶，則輸入構(gòu)件上的未知力數(shù)為q，則未知量總數(shù)為：
當機構(gòu)是靜定系統(tǒng)時，未知量的總數(shù)應(yīng)與基本方程式數(shù)目相等，即：
式（3-2）是機構(gòu)自由度的計算公式。
當機構(gòu)為過約束機構(gòu)時，未知量的總數(shù)大于基本方程式數(shù)目相等，即：
將上式變?yōu)椋?/p>
式（3-3）的左邊為所有構(gòu)件及運動副的計算自由度，右邊q為實際自由度。設(shè)過約束機構(gòu)的靜不定閃數(shù)為S，由式（3-2）可得：
由此可知，當S=0時為靜定機構(gòu)，當S＞0時為靜不定機構(gòu)。
平面過約束機構(gòu)得靜不定次數(shù)可表示為：
式中P為低副數(shù)，t為高副數(shù)。
若一個多相多曲柄并列連桿行星傳動機構(gòu)有m根高速軸，n片行星齒扳，第i片行星齒板與輸出外齒輪參加接觸承載得齒對數(shù)為Z（i），則由工（3-4）求得其靜不定次數(shù)為：
當m=2時，得多相并列雙軸式得連桿行星齒輪傳動機構(gòu)得靜不定次數(shù)
3.2 單個構(gòu)件的位移協(xié)調(diào)原理
設(shè)一構(gòu)件ab在外力的作用下產(chǎn)生微小位移（包含剛體位移和彈性變形位移），如圖3.1所示。ab長為L，與水平坐標軸的夾角為θ0，構(gòu)件上a、b兩點在受力后變位到a′，b′。作輔助線使：
由上圖可得：
式中
圖3.1 構(gòu)件變形位移關(guān)系
故：
式中：
用u、v分別表示點x、y方向的位 坐標分量，則式（3-5）寫成坐標分量得：
由于構(gòu)件得位移及變形很小，可取
所以
式中ub，vb是構(gòu)件上b點的位移；
uα，vα是構(gòu)件上α點的位移；
ubα，vbα是構(gòu)件兩點α、b的相對變形位移；
θ是構(gòu)件上b點饒基點α的微小角位移。
式（3-6）是構(gòu)件上任意兩點的位移協(xié)調(diào)方程，其特理意義是：構(gòu)件在外力作用下，產(chǎn)生微小剛體位移和彈性變形位移時，其上某點的位移是所選參考點的位移與該點饒參考點轉(zhuǎn)動的角位移以及相對變形位移的合位移。
連桿上接觸點b處受到的作用力Nx,Ny與接觸點處的彈性變形量成正比，方向與變形方向相同，故
式中k：接觸剛度系數(shù)
對于平行四邊形雙曲柄連桿機構(gòu)，在外力的作用下，連桿B、C相對其理論位置產(chǎn)生一個微小位移，且在兩端較鏈點B、C的接觸處產(chǎn)生彈性變形。了B點為參考點，根據(jù)變形真調(diào)方程，在接觸點C的變形量可表達如下：
上式中，（xb，yb）是B處的位移量，θ為連桿繞鉸點的轉(zhuǎn)角位移，β為接觸點C在從動曲柄軸上繞軸線(D)的轉(zhuǎn)角位移，L為連桿的長度，見圖3.2。
圖3.2 連桿接觸點的變形關(guān)系
連桿上兩端的作用反力與接觸點處的彈性變形量成正比，因此可表達為：
式中（Nbx，Nby)、(Ncx，Ncy):連桿兩端B、C的作用反力沿x軸、y軸的分量。
3.3 多相并列雙曲柄機構(gòu)動力分析模型
3.3.1 忽略質(zhì)量時受力數(shù)學模型
圖3.3是一多相并列雙曲柄機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖，曲柄軸為輸入軸，其上作用有已知外力F1和未知輸入力矩T1，曲柄軸為支撐軸，其上的外力知T2和外力F2以及作用在連桿B1C1上的合外力Fn1，外力矩M1都是已知的，在任一時刻t，連桿A1B1與XOZ平面的夾角為φ1，運用機構(gòu)靜態(tài)力學分析方法[22、29、30、34]，對連桿B1C1可列出受力平衡方程：
共可列出3n 個方程。
圖3.3 多相并列雙曲柄機構(gòu)的結(jié)構(gòu)簡圖
而兩曲柄軸上的力系為空間力系，其平衡方程為：
共可列出10個方程，聯(lián)立式（3-10）或（3-11），對于多相并列雙曲柄結(jié)構(gòu)，用一般靜態(tài)力學分析方法，可列出3n+10個方程，而未知量的總數(shù)為4n+9（運動副反力和輸入力矩），故機構(gòu)中未知量，（n-1）正是機構(gòu)中的虛約束個數(shù)，為了得到補充方程，必須考慮構(gòu)件的變形協(xié)調(diào)要求。
根據(jù)公式（3-9），每個環(huán)板可建立4個方程，那么n個環(huán)板可建立的方程總數(shù)為4n，式中位移量xbi,ybi,θi和β都是未知量，其總數(shù)為3n+1，故能提供的補充方程數(shù)為4n+3n-1=n-1個，同機構(gòu)所包含的虛約束個數(shù)相等，聯(lián)立式（3-10）、（3-11）、（3-9）可解得全部未知量。為了簡化計算過程，可以利用結(jié)構(gòu)力學中求解靜定結(jié)構(gòu)的位移計不，即把式（3-9）代入式（3-10）中，得到以連桿參數(shù)點位移xbi,ybi,θi和曲柄位移β為未知量的3n個方程，再由式（3-11）得到位移變形量Bxi，Byi,θi, β為未知量的3n+1個方程，并從中解得各位移變量，然后代入式（3-11）、（3-9）中可求得機構(gòu)各運動副反力及力矩。
把一個三相并列雙曲柄機構(gòu)作為一般情況進行受力分析，建立相應(yīng)的數(shù)學模型，然后分四種狀況進行計算。圖3.4是基本型（低速軸在中間，高速軸兩側(cè)布置）環(huán)板受力情況，左邊的高速軸為輸入軸，輸入力知M，輸入轉(zhuǎn)速為n,中間帶外擺線輪的為輸出軸，右邊的高速軸為中間軸（支撐軸），在齒板上以左邊軸承孔中心B1為坐標原點建立坐標系0-XYZ，輸入曲軸A1B1與X軸的夾角為φ。
在這里擺線針輪輪齒的受力情況作一個簡化。因輪齒上受到的力均通過擺線輪的節(jié)圓上的一點，故可能所有輪齒受到的力簡化成為一個合力，與擺線輪齒運動方向的夾角為α′（即嚙合角）。見圖3.4。
圖3.4 連桿內(nèi)齒輪的受力圖
作用在輸出軸擺線輪上的嚙合力
式中：T——擺線輪上的扭矩（N·m）
r′c——擺線輪節(jié)圓半徑（mm）
α′——嚙合角
P——輸入軸輸入功率（W）
n——輸入軸轉(zhuǎn)速（rpm）
t：環(huán)板參與嚙合時的數(shù)量
由前面的分析可知，對A1B1C1D1雙曲柄連桿機構(gòu)，其平衡方程為：
式中：e——曲柄A1B1的長度。
如有多快環(huán)板，第二塊與第一塊的相位差為△φ2，則有：
第三塊與第一塊的相位差為△φ3
故齒板受力平衡方程：
式中：rp′——針輪節(jié)圓半徑。
那么中間軸的繞Z軸的力矩平平方程可寫為：
e(Ny1cosφ+Ny2cos(φ+△φ2)+Ny3cos(φ+△φ3)-Nx1sinφ-Nx2sin(φ+△φ2)-Nx3sin(φ+△φ3) (3-20)
將工（3-15）～（3-20）代入式（3-19）～（3-20）可得到如下線性方程組：
[DIX]=[B] （3-21）
式中，[D]為系數(shù)矩陣：
式中：φ1=φ；φ2=φ+△φ2；φ3=φ+△φ3。
[X]為變量陣：
[X]=[xb1 yb1 θ1 xb2 yb2 θ2 xb3 yb3 θ3 β]T
[B]為常數(shù)列陣：
圖3.5是輸入軸和支撐軸（中間軸）的受力圖，不計自重及慣性力時，可得到高速軸的受力平衡方程。
圖3.5 系統(tǒng)的受力圖
輸入軸：
中間軸：
式中，d：環(huán)板與環(huán)板間的水平距離；
s：環(huán)板與箱體技撐軸承的水平距離；
px1，qx1：主動高速軸支撐軸承的水平受力；
px2，qx2：從動高速軸支撐軸承的水平受力。
3.3.2 考慮質(zhì)量時受力數(shù)學模型
在常規(guī)情況L1=L2時，考慮質(zhì)量時，力學模型中多了重力和慣性力，其數(shù)學模型可將式（3-19）改變?yōu)槭剑?-24），即：
當對兩相平行軸擺線針輪減速器求解時，△φ2=180，第三塊環(huán)板因每輸出扭矩，其相應(yīng)的Fn=0；而對三相平行軸擺線針輪減速器，△φ2=120，△φ3=240。
3.4 不同結(jié)構(gòu)平行軸擺線針輪減速器的受力分析
在不作特殊說明時，以下的受力分析是基于給定的條件：要率p=15kw，輸入轉(zhuǎn)速n=1500rpm，速比i=17，偏心距e=5,嚙合角α=30°。
3.4.1連桿式兩相平行軸擺線針輪減速器的受力分析
1）環(huán)板行星軸承的載荷情況
圖3.6、圖3.7給出了輸入軸、從動軸環(huán)板行星與連桿軸承的載荷在一個循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.1。
表3.1 環(huán)板行星與連桿軸承的最大載荷與位置
| |
沿x軸分力（N） |
沿y軸分力（N） |
合力（N） |
| 最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
輸入軸上環(huán)板1
軸承的受力F1 |
10248.4 |
117 |
7968.58 |
30 |
10882 |
93 |
輸入軸上環(huán)板2
軸承的受力F2 |
10248.4 |
297 |
7968.58 |
210 |
10882 |
273 |
輸入軸上連桿軸
承的受力F3 |
9549 |
180 |
0 |
|
9549 |
180 |
從動軸上上環(huán)板
1軸承的受力N1 |
3908.88 |
204 |
7968.58 |
210 |
8857.88 |
206 |
從動軸上上環(huán)板
2軸承的受力N2 |
3908.88 |
24 |
7968.58 |
30 |
8857.88 |
26 |
從動軸上連桿軸
承的受力N3 |
9549 |
180，0 |
0 |
|
9549 |
180，0 |
由表3.1可知，環(huán)板1與環(huán)板2上軸承的載荷 呈正弦分布，不論輸入軸還是從動員，峰值的位置相差180°（即297-117，273-93，204-24，206-26），與它們在結(jié)構(gòu)上的相位差相吻合；從動軸上連桿軸承的受力也呈正弦變化，在φ=180k(k=0,1,2...)時達到最大值，此時，正是環(huán)板1與環(huán)板2處于死點的位置，通過連桿使機構(gòu)連續(xù)旋轉(zhuǎn)。輸入軸軸承上載荷峰值比從動軸的值大，連桿軸承的載荷介于兩者之間。
2）箱體軸承的載荷情況
圖3.8、3.9給出了輸入軸、從動軸與箱體相聯(lián)軸承的載荷在一個循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.2。
表3.2 箱體軸承的最大載荷與位置
| |
沿x軸分力（N） |
沿y軸分力（N） |
合力（N） |
| 最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
輸入軸的箱體軸
承的受力q1 |
8596.82 |
171 |
3219.87 |
212 |
9080.51 |
172 |
從動軸的箱體軸
承的受力q2 |
5914.85 |
177 |
2927.16 |
30 |
6499.03 |
0，2360 |
由圖3.8、圖3.9及表3.2可知，靠近聯(lián)軸器側(cè)的箱體軸承的載荷比另一側(cè)的大，輸入軸的箱體軸承的受力比從動軸的箱體軸承的大近50%。
3）嚙合角對軸承載荷的影響
見圖3.10與3.12。隨著嚙合角的增大，環(huán)板行星軸承的載荷增大，因此擺線針輪嚙合力的合矢角度不誼太大（小于40°）；但嚙合角的變化對連桿軸承的載荷的影響甚小。
4）仿主距對軸承載荷的影響
見圖3.11與圖3.13。隨著偏心距增大，環(huán)板行星軸承的載荷和連桿軸承的載荷幾乎成線性減少，因此不受體積限制時，應(yīng)尺可能增加偏心距。
5）連桿機構(gòu)中曲柄相位角對軸承載荷的影響
見圖3.14、圖3.15及圖3.6。隨著連桿機構(gòu)中曲柄相位角增大，環(huán)板行星軸承的載荷和連桿軸承的載荷呈下降的趨勢，但環(huán)板行星軸承沿y矢的載荷基本不受影響；大約在小于45°范圍時，連桿軸承的載荷大于環(huán)板行星軸承的載荷，否則相反。因此取連桿機構(gòu)曲柄與環(huán)板曲柄機構(gòu)的曲柄相位差為90°最佳。
3.3.2 皮帶輪式兩相平行軸擺線針輪減速器的受力分析
所謂皮帶輪式兩相平行軸擺線針輪減速器，是指上屬的連桿機構(gòu)由齒形皮帶傳動取代。圖3.17給出了輸入軸環(huán)板行星與皮帶輪軸承的載荷在一個循環(huán)周期內(nèi)變化情況，其最大載荷及相應(yīng)的位置見表3.3。由表3.3可知，環(huán)板上軸承的載荷以2π為周期進行變化，載荷峰值的位置相差180°（即288-108，271-91，360-180，206-26），與它們在結(jié)構(gòu)上的相位差相吻合；皮帶輪上的受力以π/2為周期進行變化，最大值所在位置介于環(huán)板上軸承的載荷的最大與最小時的相位之間，不是位于φ=180k（k=0，1，2...）。輸入軸軸承上載荷峰值比從動軸的大，皮帶輪上軸承的載荷介于兩者之間。
表3.3 環(huán)板行星與連桿軸承的最大載荷與位置
| |
沿x軸分力（N） |
沿y軸分力（N） |
合力（N） |
| 最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
輸入軸上環(huán)板1
軸承的受力F1 |
9938.90 |
288 |
3057.66 |
32 |
10880.06 |
271 |
輸入軸上環(huán)板2
軸承的受力F2 |
9938.90 |
108 |
3057.66 |
212 |
10880.06 |
91 |
輸入軸上連桿軸
承的受力F3 |
7594.93 |
146 |
0 |
|
7594.93 |
56 |
從動軸上上環(huán)板
1軸承的受力N1 |
2756.56 |
360 |
7968.58 |
32 |
8332.03 |
26 |
從動軸上上環(huán)板
2軸承的受力N2 |
2756.56 |
180 |
7968.58 |
210 |
8332.03 |
206 |
從動軸上連桿軸
承的受力N3 |
7594.93 |
146 |
0 |
|
7594.93 |
56 |
表3.4 箱體軸承的最大載荷與位置
| |
沿x軸分力（N） |
沿y軸分力（N） |
合力（N） |
| 最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
最大值 |
位置（°） |
輸入軸的箱體軸
承的受力p1 |
6647.26 |
146 |
8542.78 |
148 |
10818.94 |
148 |
從動軸的箱體軸
承的受力q2 |
6969.70 |
142 |
4074.31 |
148 |
11319.29 |
146 |
由表3.4及計算結(jié)果可知，靠近皮帶輪側(cè)的箱體軸承的載荷經(jīng)比另一側(cè)的小，輸入軸的箱體軸承的受力比從動軸的箱體軸承的小近10%。
由圖3.18可知，與連桿式平行軸擺線針輪減速器一樣，隨著嚙合角的增大，環(huán)板行星軸承的載荷和皮帶輪的受力增大；由圖3.19可知，隨著偏心距增大，環(huán)板行星軸承的載荷幾乎成線性減少，而皮帶輪軸承的載荷基本保持不變。
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