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陳嶸 研究生——撓性疊片聯(lián)軸器非線性特性研究
來源:減速機信息網(wǎng)    時間:2007年10月11日10:10  責(zé)任編輯:wangtao   
 

單元剛度陣中dV=∣J∣dξdηdζ,所以在局部坐標(biāo)系ξηζ內(nèi)積分式(3.1.6),可采用三維高斯求積公式:

3.2  幾何非線性有限元法

當(dāng)薄板、殼等物體受到載荷,位移與應(yīng)變關(guān)系不可用線性來描述,而且應(yīng)變超過10%以上時,必須采用大應(yīng)變理論。因此考慮位移與應(yīng)變的非線性關(guān)系或采用大應(yīng)變理論均為幾何非線性問題。

3.2.1  物體變形和運動的描述

從變形的角度來說,物體的變形過程實際上是從一種圖形變換到另一種圖形的過程,由于物體是由質(zhì)點所組成的,物體的形狀可以用質(zhì)點間的相互位置來表示。

質(zhì)點p在時間t=0時刻的位置坐標(biāo)為xi(i=1,2,3),在t=t時刻質(zhì)點移到另一位置上,由于質(zhì)點間的相互位置關(guān)系發(fā)生了變化,物體因而改變了形狀,這時p點的位置坐標(biāo)為

xi(i=1,2,3)它是xi與時間的函數(shù)

Xi=Xi(xi,t)    (i=1,2,3)            (3.2.1)

對于變形體及其上的質(zhì)點運動狀態(tài),可以隨不同坐標(biāo)選取法有多種描述方法:

(1)參照描述(拉格朗日法)獨立變量為任意選擇的參照構(gòu)形中質(zhì)點P的當(dāng)前坐標(biāo)與時間t,其中參照構(gòu)形的選擇是任意的,而且不影響計算結(jié)果。

(2)空間描述(歐拉描述):獨立變量是質(zhì)點P當(dāng)前位置n+1x與時間隔n+1t,其研究方式不是跟隨著運動的質(zhì)點研究其運動狀態(tài),而是研究不同的質(zhì)點。

(3)物質(zhì)描述:獨立變量為xi與(i=1,2,3)即給出任意時刻物體中各個質(zhì)點的位置,這種方法很少用于有限元法中。

經(jīng)過空間某一點時的狀態(tài)。

(4)更新的拉格朗日法:在物體運動的整個過程中,如果從零時刻到t時刻的所有力學(xué)量是已知的,度量t+△t時刻各個力學(xué)量的參考坐標(biāo)是以t時刻的坐標(biāo)來描述,也就是說在某一時刻物體的力學(xué)量,都以它的前一個時刻的坐標(biāo)系來描述的。

由于拉格朗日描述在大應(yīng)變時非彈性本構(gòu)關(guān)系不易引入,其適應(yīng)于大位移,中等轉(zhuǎn)動和小應(yīng)變情況以及線性、以及非線性屈曲,因此本文僅討論全拉格朗日法(T.L法)的情形。

3.2.2  完全拉格朗日(T.L)公式

以t=0時刻為基準(zhǔn)描述物體在t+△t時刻的平衡,在平衡方程中采用格林—拉格朗日應(yīng)變分量 以及克;舴驈埩縯+ΔtSij,

上式是將t+△t時刻的應(yīng)力、應(yīng)變、位移看成t時刻已知的應(yīng)力、應(yīng)變、位移和未知增量應(yīng)力{0S},應(yīng)變{0ε},位移{0u}之和,進一步,增量應(yīng)變{0ε}可用線性部分即{oε}={oe}+{oη}

0eij中只含有未知增量位移的一次方項,而0ηij中含有未知增量位移二次方項,所以非線性主要體現(xiàn)在0ηij

由于0tu及0tε已知,利用式(3.2.5)(3.2.6)可行

式(3.2.2)可寫為:

上式為T.L描述的增量形式的虛功方程,左邊第一項為增量應(yīng)力在增量虛應(yīng)變上做的虛功,左邊第二項為t時刻的總應(yīng)力在非線性部分虛應(yīng)變上的虛功。右邊第二項為t刻的總應(yīng)力在線性部份慮應(yīng)變上的虛功。 右邊第一項t+△t0W為外力做的虛功。

式(3.4.16)是包含了未知量的高次項,是一個非線性方程。由于采用了增量加載,對每一個增量加載段,當(dāng)作線性問題處理,即采用分級線性化來求解。為此可近似取應(yīng)變的線性部分來代替全部應(yīng)變,即:

只要加載步長分得很小,這種代替引起的誤差將不會很大,同時這種誤差還可以在求解過程中由平衡迭代來修正。

將式(3.4.17)代入式(3.4.16)求得非線性虛功方程

上式在有限元中將物體離散為有限個單元的集合體時可為:

{}e表示此量是屬于單元的。

式(3.4.14)(3.4.19)為增量形式的完全拉格朗日(T.L)方程。

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