3.5 無量綱化
在工程分析計算中，位移、時間和力是基本量，其它是導(dǎo)出量，因此各無量綱化定義如下：
無量綱位移：Xj=xj/d0，Yj=yj/d0，Ljlj/d0，Dj=dj/d0；
無量綱時間：τ=Ωt；
無量綱剪力：
無量綱力矩：
無量綱質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量：
無量綱剛度系數(shù)：
無量綱阻尼系數(shù)：
無量綱轉(zhuǎn)動角速度：
=Ω/ωk；
其中：ωk為一階臨界轉(zhuǎn)速；
設(shè)系統(tǒng)方程的解為：x=x0eλt，λ=-u+iv；
則相應(yīng)的無量綱表達式為：
；
式中：
=λ/Ω=-U+iV，而 U=u/Ω，V=v/Ω。
經(jīng)上述過程后，將式（3.20）和式（3.21）無量綱化，就可以方便地寫出無量綱形式的系統(tǒng)運動微分方程。限于篇幅在此從略。
3.6 系統(tǒng)方程的求解
當(dāng){F}=0時，式（3.20）為自由振動方程，可以對系統(tǒng)進行模態(tài)分析。此時式（3.20）所對應(yīng)的特征值問題為
（λ2[M]+λ（[G]+[C]）+[K]+[S]）{φ}=0 （3.29）
這是一個二次特征值問題，可以化為一般的廣義特征值問題求解。求解的方法有QR法、Lanczos法和廣義逆迭代法等，本文采用廣義逆迭代法[90]。
當(dāng){F}≠0時，可以對系統(tǒng)進行各種強迫振動分析。在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，最主要的外激振力是轉(zhuǎn)子的不平衡而引起的慣性力，因此只要確定了轉(zhuǎn)子的不平衡量及其作用的位置，就可以計算系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)，常用的方法有振型疊加法、直接積分法和高斯消去法[90]。本文采用高斯消去法直接求解系統(tǒng)的不平衡響應(yīng)。
3.7 軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動力學(xué)分析
軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動力學(xué)分析包括系統(tǒng)的穩(wěn)定性和模態(tài)分析以及臨界轉(zhuǎn)速和不平衡響應(yīng)的計算等內(nèi)容。下面主要來討論齒輪聯(lián)軸器的動力特性對系統(tǒng)的影響。
計算模型如圖3.6所示。整體系統(tǒng)由一個齒輪聯(lián)軸器連接的二個Jeffcott轉(zhuǎn)子系統(tǒng)所組成，共有三跨，因此是一典型的多跨軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。齒輪聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)近似選用CL5型，為方便問題的討論，重點分析左右對稱布置的系統(tǒng)。系統(tǒng)具體的結(jié)構(gòu)參數(shù)見表3.1。工作轉(zhuǎn)速為n=3000rpm。齒輪聯(lián)軸器對中良好，全齒寬接觸。計算采用無量綱化（在后面的計算中，如無特殊說明均為無量綱）。傳統(tǒng)上計算此類問題時往往采用兩種方法，第一種方法是將聯(lián)軸器人為截斷，只計算系統(tǒng)的左側(cè)或右側(cè)轉(zhuǎn)子[18,50]，即單軸分析法，這樣系統(tǒng)為一單跨軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，系統(tǒng)靜定負(fù)荷分配簡單，但是卻忽略二轉(zhuǎn)子之間的耦合作用；第二種方法是整體分析法，這一方法是將整個系統(tǒng)作為研究對象，將齒輪聯(lián)軸器用一等效的軸段[6]來代替（故稱之為等軸法），等效軸段長度的剛度即為等效剛度，此時系統(tǒng)是超靜定的。從直觀上看這樣處理似乎比單軸分析法更為合理，但是其中等效軸段的長度不易確定。為便于比較在下文中凡涉及到等效軸法的計算結(jié)果均是以聯(lián)軸器的實際長度作為等效長度而得的。
表3.1 對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)
| 軸段及材料 |
圓盤 |
圓軸承 |
| li=0.5m(i=1,2,6,7) |
軸徑 d=0.09m |
質(zhì)量 m=700kg |
長徑比 B/d=0.5 |
| l3=l5=0.15m |
彈性模量E=206GPa |
極轉(zhuǎn)動慣量Jz=12.0kg·m2 |
間隙比 ψ=0.2% |
| l4=0.15m |
泊松比 μ=0.3 |
赤道轉(zhuǎn)動慣量Jd=6.0kg·m2 |
動力粘度μ=0.0221Pa·s |
3.7.1 齒輪聯(lián)軸器對軸承特性的影響
對于對稱軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，計算步驟如下：1）軸心的平衡位置隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系，結(jié)果如圖3.7所示。2）軸承的油膜剛度和阻尼系數(shù)隨轉(zhuǎn)速的變化關(guān)系，結(jié)果如圖3.8所示。由于在兩側(cè)轉(zhuǎn)子上對應(yīng)軸承的特性相同，故僅列出在左側(cè)轉(zhuǎn)子上二個軸承（#1和#2）處的結(jié)果。
從以上的計算結(jié)果來看，用等效軸法計算軸承的軸心位置，#1軸承處的偏心率明顯偏小，偏位角偏大，而在#2軸承處則正相反。這表明采用等效軸法會使轉(zhuǎn)子的平衡位置產(chǎn)生較大的誤差，也預(yù)示著#1軸承和#2軸承之間負(fù)荷分配的變化。另外比較#1和#2軸承的結(jié)果，還可以看出，聯(lián)軸器的作用使得二個軸承的負(fù)荷分配趨于接近，而等效軸法從某種意義上講相當(dāng)于二個轉(zhuǎn)子的直接對接，必將造成二軸承負(fù)荷分配不均，在工作轉(zhuǎn)速下各軸承處的負(fù)荷分配見表3.2，因此對軸承的受力來說這也正是采用齒輪聯(lián)軸器的優(yōu)點所在。從二軸承處的動特性來看，#1軸承的各項剛度和阻尼系數(shù)比等效軸法大，而#2軸承的各項剛度和阻尼系數(shù)則比等效軸法小，這歸根到底也是軸承負(fù)荷分配發(fā)生了變化的結(jié)果。如果采用單軸分析方法計算，以左側(cè)轉(zhuǎn)子為例，由于聯(lián)軸器的質(zhì)量與圓盤相比要小許多，系統(tǒng)近似為一對稱轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，則作用在#1和#2軸承上的負(fù)荷相差不大，因此二個軸承處的動特性系數(shù)也比較接近。由于軸承的靜、動特性發(fā)生了變化，因此勢必引起系統(tǒng)動態(tài)特性的變化。
表3.2 工作轉(zhuǎn)速下各軸承處的負(fù)荷分配（kg）
| |
#1軸承 |
#2軸承 |
#3軸承 |
#4軸承 |
| 本文方法 |
311.55 |
414.45 |
414.45 |
311.55 |
| 等效軸法 |
259.64 |
465.17 |
465.17 |
259.64 |
3.7.2 齒輪聯(lián)軸器對系統(tǒng)復(fù)特征值和復(fù)模態(tài)的影響
下面對二側(cè)對稱的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)進行分析計算。
（1）按‘等效軸’法計算，結(jié)果見表3.3。
表3.3 按‘等效軸’法計算得不同轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的特征值
| 相對工作角速度Ω/ωk |
No. |
i=u/Ω+iv/Ω |
| 1.00000 |
1
2
3
4 |
-0.34774D-01+i0.72585D+00
-0.22925D-01+i0.76828D+00
-0.41981D-01+i0.83403D+00
-0.28089D-01+i0.85016D+00 |
| 1.43719 |
1
2
3
4 |
-0.83590D-05+i0.51463D+00
-0.15650D-02+i0.53676D+00
-0.27019D-01+i0.57455D+00
-0.23805D-01+i0.58722D+00 |
| 1.43819 |
1
2
3
4 |
0.35243D-04+i0.51430D+00
-0.15355D-02+i0.53639D+00
-0.26998D-01+i0.57414D+00
-0.23797D-01+i0.58681D+00 |
注：ωk=314.159 rad/s（不同）。
（2）不計齒輪聯(lián)軸器內(nèi)阻尼按本文方法計算，結(jié)果見表3.4。
表3.4 不同轉(zhuǎn)速下軸承—轉(zhuǎn)子—聯(lián)軸器系統(tǒng)的特征值
| 相對工作角速度Ω/ωk |
No. |
i=u/Ω+iv/Ω |
| 1.00000 |
1
2
3
4 |
-0.19310D-01+i0.63059D+00
-0.14980D-01+i0.64585D+00
-0.18366D-01+i0.72318D+00
-0.65746D-01+i0.80639D+00 |
| 1.26417 |
1
2
3
4 |
-0.14454D-04+i0.50838D+00
-0.44376D-03+i0.51607D+00
-0.16639D-01+i0.57032D+00
-0.57178D-01+i0.62901D+00 |
| 1.26517 |
1
2
3
4 |
0.35627D-04+i0.50801D+00
-0.40779D-03+i0.51568D+00
-0.16633D-01+i0.56986D+00
-0.57150D-01+i0.62848D+00 |
比較上述二種情況，可以看出在工作轉(zhuǎn)速Ω/ωk=1.0時，表3.3所列系統(tǒng)低階特征值的實部和虛部的絕對值明顯要大于表3.4所對應(yīng)的值，這表明：1）在正常工作狀態(tài)下，按等效軸法計算得的系統(tǒng)對數(shù)衰減率和固有頻率要大。按等效軸法計算，在Ω/ωk=1.43819時系統(tǒng)失穩(wěn)；而按本文的模型，即使在全齒寬接觸的情況下，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速也只為Ω/ωk=1.26517，這說明用等效軸法來計算這類系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速，數(shù)值明顯偏高，是極不合適的。2）通過比較Ω/ωk=1.0時，低階固有頻率值的數(shù)值可以推出，按等效軸法所計算得的系統(tǒng)的低階臨界轉(zhuǎn)速也是偏高的，這一現(xiàn)象在一實際的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中被證實[66]，因為等效軸法實質(zhì)上相當(dāng)于齒輪聯(lián)軸器被鎖定時將二個轉(zhuǎn)子看成為一個整體，這樣處理相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了一個約束，結(jié)果自然會失真。關(guān)于系統(tǒng)的臨界轉(zhuǎn)速在后面我們還將作詳細(xì)的討論。如果按單軸分析法計算，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速Ω/ωk=1.19215。因此用等效軸法（按聯(lián)軸器的實際長度作為等效長度）和單軸分析法所計算得的系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速實質(zhì)上是二個極限，前者偏高不安全，而后者偏低過于保守。
（3）齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響
齒輪聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼系數(shù)可由上一章的方法計算。總的來說，聯(lián)軸器的內(nèi)阻尼受系統(tǒng)工況的影響較大，在不同的工況下內(nèi)阻尼會有所變化。設(shè)各齒承載相同，即聯(lián)軸器對中良好，其中扭矩T取為CL5型齒輪聯(lián)軸器許用扭矩的一半；按照文獻[34]，齒面間的滑動摩擦系數(shù)取為f=0.15；ω應(yīng)為轉(zhuǎn)動角速度與最易產(chǎn)生失穩(wěn)的渦動角速度之差，失穩(wěn)一般首先發(fā)生在低階，在此渦動頻率取為第一階固有頻率。相對橫向振幅為CL5型聯(lián)軸器[88]內(nèi)外齒輪之間的徑向間隙c，相對轉(zhuǎn)角振幅為arctg2c/l，其中l(wèi)為內(nèi)外齒輪的接觸寬度。這樣可以計算得到在工作轉(zhuǎn)速下無量綱內(nèi)阻尼系數(shù)為Cl=0.38，Ca=3.67×10-3。系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)速見表3.5。
表3.5 不同轉(zhuǎn)速下軸承—轉(zhuǎn)子—聯(lián)軸器系統(tǒng)的特征值
| 相對工作角速度Ω/ωk |
No. |
i=u/Ω+iv/Ω |
| 1.00000 |
1
2
3
4 |
0.19315D-01+i0.63062D+00
-0.14968D-01+i0.64611D+00
-0.19918D-01+i0.72273D+00
-0.66795D-01+i0.80548D+00 |
| 1.26317 |
1
2
3
4 |
0.21974D-04+i0.50879D+00
-0.14346D-03+i0.51674D+00
-0.18046D-01+i0.57034D+00
-0.57988D-01+i0.62870D+00 |
| 1.26417 |
1
2
3
4 |
0.30147D-04+i0.50842D+00
-0.10558D-03+i0.51636D+00
-0.18039D-01+i0.56988D+00
-0.57959D-01+i0.62818D+00 |
比較表3.4和表3.5二種情況，系統(tǒng)的失穩(wěn)轉(zhuǎn)由1.26517降為1.26417，顯然變化很小。而且失穩(wěn)時的渦動頻率也幾乎不變。如果將各內(nèi)阻尼系數(shù)增大為原來的5倍，則失穩(wěn)轉(zhuǎn)速在ω/ωk=1.23417～1.23517之間。由此可見，在對中良好并且內(nèi)外齒輪間潤滑充分時，聯(lián)軸器內(nèi)阻尼對系統(tǒng)失穩(wěn)轉(zhuǎn)速的影響不十分明顯。當(dāng)然在潤滑失效并且對中不良時，由于偏載效應(yīng)而引起齒面間的摩擦力（力矩）可能要大得多[6]，此時內(nèi)阻尼系數(shù)也會相應(yīng)增大。
（4）齒輪聯(lián)軸器耦合系統(tǒng)的復(fù)模態(tài)
在ka=0.128不計內(nèi)阻尼時，工作轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的前12階彎曲振動復(fù)模態(tài)圖見圖3.9。從復(fù)模態(tài)圖上可以看出，在低階彎曲模態(tài)中，輪齒的變形是較小的，輪齒變形較大主要發(fā)生在高階模態(tài)中。這與實際情況比較接近，因為在實際的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，輪齒的剛度一般比軸段的剛度要大許多，因此在低階的彎曲模態(tài)中，輪齒的變形體現(xiàn)不出來。系統(tǒng)前2階的扭轉(zhuǎn)振型如圖3.10所示。在前二階扭轉(zhuǎn)振型中輪齒變形也較小。
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