3.跡法模型
Badrakan提出跡法模型，并在1987年用跡法模型研究了在雙線性遲滯恢復(fù)力作用下系統(tǒng)的特性，得到了具有雙線性遲滯恢復(fù)力的系統(tǒng)在高斯分布穩(wěn)態(tài)白噪聲激勵(lì)作用下系統(tǒng)的響應(yīng)特性，跡法中遲滯恢復(fù)力可以表示為：
f（y，
）=g（y）+h（y）·sgn（） (1-7)
式中f（y，）恢復(fù)力是位移和速度符號(hào)的函數(shù)，g（y）為遲滯回線上下邊f(xié)+和f-的平均值函數(shù)：
g（y）=（f++f-）/2 （1-8）
而h（y）是
h（y）=（f+-f-）/2 （1-9）
于是有
f+= g（y）+ h（y）
f-=g（y）- h（y） （1-10）
由h（y）·sgn（）定義的回線由一個(gè)橢圓來(lái)近似，該橢圓的面積和幅度與回線相等，表示一個(gè)等效的粘性阻尼，由此可知，在跡法中遲滯回線用兩項(xiàng)來(lái)等效，一項(xiàng)是回線的跡線，另一項(xiàng)是等效的粘性阻尼。Badrakan后來(lái)又進(jìn)一步提出遲滯回線的跡線可用一條多項(xiàng)式曲線來(lái)近似。基于平均和等效原理的跡法是一種建立小位移遲滯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的實(shí)用方法。近年KO等人用跡法對(duì)鋼絲繩振動(dòng)隔離器受剪切時(shí)的遲滯特性進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，將彈性恢復(fù)力用三個(gè)階次的非線性彈簧剛度與位移的五次方函數(shù)關(guān)系表示：
F1= F1（x，A）=K1（A）x+K2（A）x3+K3（A）x5 （1-11）
阻尼力用等效粘性阻尼表示：
F2=F2（
，A，ω）=C（A，ω） （1-12）
在進(jìn)行K1（A），K2（A)，K3（A）的參數(shù)辯識(shí)時(shí)，用直接擬合平均初始剛度的所有值而獲得K1（A）與振幅A的關(guān)系式；用兩個(gè)特殊值F1（x，A）|x=A和dF1／dx|x=A聯(lián)立方程求解來(lái)獲得K2（A)，K3（A）與振幅A的關(guān)系式。由此方法得到的數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)單、明了，各參數(shù)的物理意義明確，較好地反映研究對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理。但是，由于實(shí)際的遲滯系統(tǒng)結(jié)構(gòu)各不相同，內(nèi)部機(jī)理也各異，當(dāng)系統(tǒng)的非線性表現(xiàn)得更為強(qiáng)烈，須用更高階非線性彈簧剛度來(lái)描述時(shí)，方法就不行了，因?yàn)樗荒苡锰厥怅P(guān)系來(lái)獲得K2（A)，K3（A）與振幅的關(guān)系式，而不能獲得更高階的剛度。
除了以上三種典型的遲滯力模型外，描述力和位移遲滯關(guān)系的模型還有Dayideokov模型，描述遲滯回線兩個(gè)分支的表達(dá)式為:
式中u0為位移幅值，r，P為參數(shù)，u為位移，F(xiàn)d為恢復(fù)力。Pisareoko、Vinogradov等人用這一模型研究非線性遲滯特性系統(tǒng)的振動(dòng)。另外還有Ramberg-Osgood模型,Menegotto-Pinto模型和三折線模型等。
綜上所述可知，描述非線性遲滯特性的數(shù)學(xué)模型都是針對(duì)某些遲滯系統(tǒng)提出的，它們各有不同的應(yīng)用場(chǎng)合，并且有各自不同的優(yōu)缺點(diǎn)。對(duì)于雙線性模型來(lái)說(shuō)，它形式簡(jiǎn)單需辯識(shí)的參數(shù)少，物理意義清楚，但它將系統(tǒng)處理成兩個(gè)線性剛度系數(shù)，無(wú)法描述強(qiáng)非線性高階剛度系數(shù)的影響，對(duì)阻尼僅處理為干摩擦阻尼，也不足以描述阻尼的復(fù)雜情況一階微分方程模型可以描述大小不同，形狀各異的遲滯回線，但它各參數(shù)的物理意義不明確，表達(dá)式以導(dǎo)數(shù)或微分形式出現(xiàn)不利于各參數(shù)的辯識(shí)，而且恢復(fù)力中的彈性力和阻尼力表現(xiàn)形式不顯現(xiàn)。跡法模型以及在此基礎(chǔ)上KO等建立的模型，物理意義明確，表達(dá)式簡(jiǎn)單明了，但前者只能描述遲滯恢復(fù)力與位移和速度的關(guān)系，而不能全面揭示遲滯恢復(fù)力與各振動(dòng)參數(shù)的關(guān)系，后者由于辯識(shí)高次非線性彈簧剛度的能力限制，使它的應(yīng)用范圍受到了制約。由此可見(jiàn)，目前尚無(wú)一種十分理想的模型可以用來(lái)準(zhǔn)確地描述非線性遲滯系統(tǒng)的動(dòng)力特性。因此，在研究鋼絲繩聯(lián)軸器非線性遲滯特性時(shí)，汲取前人研究成果中的合理部分，建立一個(gè)能較好的描述聯(lián)軸器非線性遲滯動(dòng)力特性的數(shù)學(xué)模型將是本文研究工作之一。
三.非線性遲滯系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)
數(shù)學(xué)模型建立以后，下一步工作就是辨識(shí)數(shù)學(xué)模型中的未知參數(shù)。已有的研究大多是關(guān)于線性系統(tǒng)的，關(guān)于非線性遲滯特性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)工作做得不多。只是最近幾年來(lái)方才有些發(fā)展。由于非線性遲滯系統(tǒng)問(wèn)題的雙值性和非線性，成為非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的前沿課題。
1.非線性遲滯系統(tǒng)參數(shù)的可辨識(shí)性問(wèn)題
非線性遲滯系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)的研究工作發(fā)展的如此緩慢的主要原因之一是系統(tǒng)恢復(fù)力是一個(gè)位移的雙值非線性函數(shù)。在參數(shù)辨識(shí)過(guò)程中首先遇到的問(wèn)題是非線性遲滯系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)是否是可辨識(shí)的，因?yàn)榇蠖鄶?shù)參數(shù)辨識(shí)技術(shù)基礎(chǔ)的假設(shè)是回歸函數(shù)的解析性，然而，對(duì)于非線性遲滯系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，回歸函數(shù)是雙值和非解析的，這就導(dǎo)致了非線性遲滯系統(tǒng)是否是可辨識(shí)的問(wèn)題。
Grewal等人通過(guò)考察非線性系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的一個(gè)線性化局部系統(tǒng)能識(shí)性來(lái)研究非線性系統(tǒng)的可辨識(shí)性。
Aodronikou等人以單自由度的雙線性遲滯模型為例，研究了遲滯系統(tǒng)的可辨識(shí)性問(wèn)題。他們根據(jù)文獻(xiàn)的提法，分為兩個(gè)步驟：第一步用等效的單值非線性系統(tǒng)代替實(shí)際的雙值雙線性系統(tǒng)；第二步研究等效后單值非線性系統(tǒng)的能識(shí)性，并考察了兩個(gè)系統(tǒng)能識(shí)性的關(guān)系。該文獻(xiàn)指出，假定兩個(gè)系統(tǒng)都受到足夠小的激勵(lì)，兩個(gè)系統(tǒng)以相同幅值和頻率諧振，則原始非線性遲滯系統(tǒng)是可辨識(shí)的。
研究非線性遲滯系統(tǒng)可辨識(shí)性問(wèn)題的文獻(xiàn)極少，這方面的工作有待進(jìn)一步研究，以期從數(shù)學(xué)上解決非線性遲滯系統(tǒng)是否是可辨識(shí)的問(wèn)題。
2.非線性遲滯系統(tǒng)參數(shù)辨識(shí)
盡管問(wèn)題還沒(méi)有從數(shù)學(xué)上解決，但是，由于實(shí)際工作的需要，還是在非線性遲滯系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)方面作了一些研究。
Kohr曾提出一種非線性參數(shù)辨識(shí)方法，后來(lái)Hoborock和Kohr在此基礎(chǔ)上，把方程誤差技術(shù)與優(yōu)化方法中的最陡下降判斷算法應(yīng)用于未知參數(shù)的辨識(shí)，但是這種方法只能用于識(shí)別一個(gè)非線性未知參數(shù)項(xiàng)的系統(tǒng)。Sprague和Kohr進(jìn)一步采用分段連續(xù)函數(shù)展開(kāi)的技術(shù)成功地辨識(shí)了許多工程上非線性單值函數(shù)的參數(shù)。Seitoglu和Klein在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，提出了用于辨識(shí)一類(lèi)非線性函數(shù)（其中包括有多值和記憶（即遲滯）特性的函數(shù)）的技術(shù)。這種方法要求非線性遲滯系統(tǒng)能表示為一系列常微分方程，并且限于分段連續(xù)的非線性時(shí)不變，集中參數(shù)方程。
Distefano和Rath把最小二乘法應(yīng)用于雙線性恢復(fù)力遲滯模型，有三個(gè)未知參數(shù)，作為一個(gè)優(yōu)化濾波問(wèn)題求解。文獻(xiàn)指出，對(duì)不同的力函數(shù)和不同的初始條件同時(shí)辨識(shí)三個(gè)參數(shù)的嘗試是不成功的。
Andronikou,Bekey和Masri在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上應(yīng)用自適應(yīng)隨機(jī)搜索算法來(lái)識(shí)別具有三個(gè)未知參數(shù)的雙線性恢復(fù)力非線性遲滯系統(tǒng)，輸人為正弦激勵(lì)，這種方法要求激勵(lì)輸人信號(hào)是簡(jiǎn)諧的并且有足夠大的幅值，但這種方法的收斂速度較慢。
胡海巖和李岳蜂用雙折線模型（即雙線性模型的特殊情況，如圖1-2(c)所示模型）來(lái)近似描述非線性減振器的遲滯恢復(fù)力，在大變形前提下構(gòu)造了單值支的解析展開(kāi)，把非線性參數(shù)辨識(shí)簡(jiǎn)化成展開(kāi)系數(shù)及無(wú)遲滯恢復(fù)力模型參數(shù)的線性估計(jì)，在此基礎(chǔ)上建立了兩種參數(shù)辨識(shí)方法，這樣在正弦激勵(lì)下通過(guò)一次試驗(yàn)即可獲得建模所需的全部物理參數(shù)。
最近，陳乃立和童忠鈁提出了一種將雙折線非線性遲滯系統(tǒng)的參數(shù)進(jìn)行分離識(shí)別的方法，將遲滯振動(dòng)系統(tǒng)的非線性恢復(fù)力分離成遲滯恢復(fù)力、僅與位移有關(guān)的非遲滯恢復(fù)力和僅與速度有關(guān)的非遲滯恢復(fù)力等三部分來(lái)分別加以識(shí)別，它計(jì)算量小，具有較好的坑噪聲能力。
Lo,Yar和Hammon提出了用最小二乘優(yōu)化方法來(lái)擬合測(cè)量數(shù)據(jù)，采用的遲滯恢復(fù)力模型是一階徽分方程，他們用數(shù)字仿真進(jìn)行未知參數(shù)的估計(jì)，結(jié)果表明是可行的，但是這種算法未能估計(jì)出全部未知參數(shù)。
Yar和Hammond就一階微分方程遲滯恢復(fù)力模型的參數(shù)估計(jì)提出了一種二階段迭代最小二乘算法，仿真過(guò)程和結(jié)果表明這種算法在某些情況下不收斂。文獻(xiàn)沒(méi)有明確給出可容許的噪聲指標(biāo)。
Yar和Hammond根據(jù)Fokker Plank Kolmogrov方程和高斯牛頓迭代法提出了一種估計(jì)微分方程模型未知參數(shù)的方法，克服了時(shí)域法對(duì)差分方程近似的不足，并可防止在模數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程中引進(jìn)誤差．他們把這種方法應(yīng)用于Duffing方程和遲滯系統(tǒng)的參數(shù)識(shí)別。
提出了由能量積分來(lái)分批識(shí)別非線性系統(tǒng)參數(shù)的新方法，把系統(tǒng)力學(xué)模型分為耗能元件和保守元件，利用保守元件不耗能，由此建立僅含耗能元件參數(shù)的線性識(shí)別方程，以此為基礎(chǔ)再利用能量積分建立僅含保守元件參數(shù)的線性識(shí)別方程。仿真試驗(yàn)表明，此方法簡(jiǎn)便有效。
綜上所述，參數(shù)辨識(shí)首先要求對(duì)非線性遲滯系統(tǒng)特性有一定了解，然后建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，辨識(shí)的目的在于按照選定的估計(jì)準(zhǔn)則和算法確定出數(shù)學(xué)模型中表示系統(tǒng)特性的未知參數(shù)值。目前，常采用的估計(jì)準(zhǔn)則有最小二乘原理、極大似然原理、貝葉斯估計(jì)原理等，用得最多的是最小二乘原理。所用算法多為各種優(yōu)化算法，并用數(shù)值仿真來(lái)檢驗(yàn)辨識(shí)方法的優(yōu)劣。
四.非線性遲滯系統(tǒng)的非參數(shù)辨識(shí)
當(dāng)對(duì)非線性振動(dòng)系統(tǒng)了解不充分，辨識(shí)目標(biāo)尚不能具體到物理參數(shù)時(shí)，可以在函數(shù)空間里按照一定的誤差準(zhǔn)則來(lái)尋找最佳逼近系統(tǒng)特性的函數(shù)。這就是非參數(shù)辨識(shí)法．這類(lèi)方法對(duì)于一般單值非線性問(wèn)題效果較好，但對(duì)于多值非線性遲滯問(wèn)題效果結(jié)果往往不能令人滿(mǎn)意。這是因?yàn)閷?duì)于多值問(wèn)題，雖然可設(shè)恢復(fù)力關(guān)于相應(yīng)狀態(tài)單值光滑，但客觀存在的多值性常常使得待逼近的曲面極不光滑，導(dǎo)致偏離實(shí)際的估計(jì)。另外，這類(lèi)方法得不到研究者所關(guān)心的物理參數(shù)。不過(guò)，在無(wú)法建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型的情況下，非參數(shù)辨識(shí)方法不失為一種可行的方法。
關(guān)于非線性系統(tǒng)的非參數(shù)辨識(shí)方法的研究近年來(lái)很活躍，但是決大多數(shù)不能用于非線性遲滯系統(tǒng)。Masrl等人采用chebyshev正交多項(xiàng)式函數(shù)族來(lái)逼近任意未知非線性恢復(fù)力，據(jù)稱(chēng)這種方法適用于非線性遲滯恢復(fù)力。
近來(lái)，提出將遲滯恢復(fù)力分離成有記憶恢復(fù)力和無(wú)記憶恢復(fù)力，而無(wú)記憶恢復(fù)力又分別分離成與速度有關(guān)的部分和與位移有關(guān)的部分，然后用正交的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)分別去逼近無(wú)記憶恢復(fù)力的兩部分。這是應(yīng)用非參數(shù)識(shí)別方法來(lái)達(dá)到參數(shù)識(shí)別目的的有益嘗試。
五.非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分析方法
非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)動(dòng)力響應(yīng)分析方法在近幾年得到了廣泛的研究。一種由Lau等人提出的多簡(jiǎn)諧頻域法，增量諧波平衡法IHB(the incremental harmonicbo1aoce)，已經(jīng)被成功和廣泛地應(yīng)用于非線性動(dòng)力系統(tǒng)和有關(guān)問(wèn)題的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析。該方法是Newton-Raphson增量法與諧波平衡法的結(jié)合，這種方法能很好地處理受到任意周期激勵(lì)的強(qiáng)非線性系統(tǒng)。
另一種由Ferriet發(fā)展起來(lái)的GNR法（Galerkin/Newtoa-Raphson）也適用于多諧振的頻域解法技術(shù)。GRN法和IHB法本質(zhì)上是等效的。在IHB法中，首先用Newton-Raphson方法來(lái)形成一個(gè)線性化的增量方程系統(tǒng)，然后用Galerkin方法來(lái)獲得增量方程的解。在GNR法中，第一步執(zhí)行Ga1erkin方法以形成一組非線性代數(shù)方程組，然后用Newton-Raphson解法來(lái)聯(lián)立求解這組非線性代數(shù)方程。這兩種基本上等效的方法具有他們各自的特點(diǎn)，因此可以根據(jù)實(shí)際情況選用。
Liug等人在獲得較高階簡(jiǎn)諧項(xiàng)時(shí)，為了減少計(jì)算量，發(fā)展了一種快速Ga1erkin方法（FG法），這種方法可以使得IHB法和GNR法的執(zhí)行更為有效。即在Galerkin方法中引進(jìn)了快速Fourier變換（FFT）。
近年，Caoron等人提出了一種用于非線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析的頻率／時(shí)間域交替方法（AFT)(alternating frequency/time)。此法在頻率域內(nèi)提供迭代執(zhí)行程序，但是在每次迭代處，為了計(jì)算某些不能在頻域解析表達(dá)的非線性項(xiàng)的值，它需要從頻率域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域然后再轉(zhuǎn)換回頻域。這種方法表明，頻率域和時(shí)間域之間的信息交換對(duì)于分析某些只在頻率域內(nèi)分析很難得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的非線性系統(tǒng)是必不可少的。
最近，wong等人用GLM法（Galerkin-Levenberg-Marguardt）對(duì)一個(gè)基礎(chǔ)由鋼絲繩隔振器將其與地面隔離的框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行了穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算分析和研究。此方法在處理過(guò)程中，首先將含有鋼絲繩隔振器非線性遲滯恢復(fù)力的微分方程用Galerk加方法變換成一組非線性代數(shù)方程，然后用LM法迭代計(jì)算系統(tǒng)多諧解的各系數(shù)，由此求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由于隔振器非線性遲滯恢復(fù)力的復(fù)雜性，在計(jì)算穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的過(guò)程中，也采用了類(lèi)似于AFT法的處理方法，將位移幅值中介變量的頻率域信息借助于頻率／時(shí)間域交替變換來(lái)獲得。結(jié)果表明，這種方法對(duì)于計(jì)算含有非線性遲滯特性隔離裝置的框架結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是有效的。
對(duì)于計(jì)算轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方法的研究，自七十年代以來(lái)，已經(jīng)有相當(dāng)大的發(fā)展，例如傳遞矩陣法、有限元法和子結(jié)構(gòu)模態(tài)綜合法等已得到很大的發(fā)展并廣泛地應(yīng)用于原動(dòng)機(jī)一轉(zhuǎn)子一軸承一基礎(chǔ)系統(tǒng)的動(dòng)力分析，然而，在轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)動(dòng)力分析中考慮彈性聯(lián)軸器影響的研究工作做得很少。在軸系中考慮彈性聯(lián)軸器對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力影響的研究工作的難點(diǎn)在于，一是建立較為精確的彈性聯(lián)軸器模型有困難，特別是當(dāng)彈性聯(lián)軸器的動(dòng)力特性呈非線性特征時(shí)尤其如此，二是計(jì)算方法的問(wèn)題，特別是軸系中考慮彈性聯(lián)軸器的非線性特性時(shí)，計(jì)算更是困難。
本文擬在建立起鋼絲繩聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，研究含有這種聯(lián)軸器的軸系系統(tǒng)，發(fā)展一種能計(jì)算這種軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析計(jì)算方法，由此考察鋼絲繩聯(lián)軸器動(dòng)力特性對(duì)軸系響應(yīng)的影響。將這一方面的研究工作向前推進(jìn)一步。
1-3 本文研究工作簡(jiǎn)介
本文以大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器以及含有這種聯(lián)軸器的軸系為研究對(duì)象，在分析和借鑒前人研究非線性遲滯動(dòng)力系統(tǒng)建模理論和系統(tǒng)辨識(shí)方法的基礎(chǔ)上，根據(jù)本領(lǐng)域最新研究發(fā)展的新動(dòng)向，來(lái)研究鋼絲繩聯(lián)軸器自身的動(dòng)力特性以及含有該聯(lián)軸器軸系的振動(dòng)特性。試圖通過(guò)理論分析和試驗(yàn)研究，為開(kāi)發(fā)和應(yīng)用鋼絲繩聯(lián)軸器于船舶推進(jìn)軸系，建立一套比較完整的分析，計(jì)算和試驗(yàn)方法。
主要工作概括如下：
1.在廣泛查閱國(guó)內(nèi)外有關(guān)文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，較全面地掌握了該領(lǐng)域的發(fā)展動(dòng)態(tài)，為探討大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器及其軸系的動(dòng)力特性莫定了基礎(chǔ)；
2.探索了大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器的動(dòng)態(tài)試驗(yàn)方法，提出了一種激勵(lì)大位移振動(dòng)的新方法，克服了傳統(tǒng)激振方法不能同時(shí)使頻率、振幅和激勵(lì)力達(dá)到一定的要求的困難，為研究大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器的動(dòng)力特性解決了大位移振動(dòng)試驗(yàn)的難題；
3.提出了用于具有非線性遲滯特性聯(lián)軸器動(dòng)力特性研究的擬合分解法，以此為基礎(chǔ)構(gòu)造了大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器物理參數(shù)辨識(shí)方法，并研制了相應(yīng)的軟件，解決了大撓度鋼絲繩聯(lián)軸器的建模問(wèn)題；
4.對(duì)一類(lèi)在方程中剛度和阻尼與振幅有關(guān)的強(qiáng)非線性自治系統(tǒng)，提出了求解其穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的近似解析法---頻閃-諧波平衡法，由此可以求出系統(tǒng)產(chǎn)生主共振解和次諧共振解的條件，為防止共振提供了理論依據(jù)，數(shù)字仿真結(jié)果證實(shí)了理論的正確性；
5.提出了一種用于含鋼絲繩聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算的組合算法并研制了軟件；試驗(yàn)結(jié)果支持了組合算法的正確性；
6.對(duì)鋼絲繩聯(lián)軸器的研究前景做了展望。
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