二、考慮頻率影響的數(shù)學(xué)模型
在這種情況下，聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型的表達(dá)式為（3-7）式，下面分別討論
l和2函數(shù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)形式：
1.非遲滯非線性彈性恢復(fù)力l的數(shù)學(xué)模型
由試驗研究知道，聯(lián)軸器的彈性恢復(fù)力不僅是振幅的的函數(shù)而且還是頻率的函數(shù)，隨著頻率的增大，在一定頻率范圍內(nèi)，彈性恢復(fù)力逐漸減小，然后趨于一定值，根據(jù)這一特性，在建造彈性恢復(fù)力新的數(shù)學(xué)模型時，引進(jìn)一個能描述這一特性的指數(shù)函數(shù)項e-flr（f），這樣，新構(gòu)建的彈性恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型為：
同時，定義幾個新函數(shù)參數(shù)，a2i-1（f）為剛度幅值頻率影響系數(shù)，它表示聯(lián)軸器彈性元件各階剛度的幅值受頻率變化影響的程度；β2i-1（f）稱為剛度幅值頻率衰減系數(shù)，表示彈性元件各階剛度的幅值隨頻率增加的衰減程度；y2i-1（f）稱為剛度頻率衰減系數(shù)，表示彈性元件各階剛度隨頻率增加的衰減速率，y2i-1（f）愈大，剛度值隨頻率減小的速度就愈慢，反之，則愈快。從理論上講，只有當(dāng)f值趨于無窮大時，exp{-f/[ y2i-1（f）]}才趨于零，各階剛度
2i-1（A，f）才趨于各自的定值K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）]。但事實上，由于指數(shù)曲線開始變化較大，而后逐漸緩慢，所以，實際上f達(dá)到一定值后，exp{-f/[ γ2i-1（f）]}已經(jīng)很小了，例如，設(shè)f=5 γ2i-1（f），這時有：
2i-1（A，f）= K2i-1（A）[α2i-1（f）-β2i-1（f）（1-e-5）]
= K
2i-1（A）[α
2i-1（f）-β
2i-1（f）×0.99326] （3-20）
當(dāng)頻率f=8，10，…，30赫茲時，剛度不再隨頻率的變化而變化，由此可得γ2i-1（f）=1，6,2，…，6；α2i-1（f）-β2i-1（f）×0.99326=βc，這些參數(shù)值和關(guān)系式在辨識（3-19）式中參數(shù)時，可作為已知條件應(yīng)用。
從以上分析可知，(3-18）式表示的數(shù)學(xué)模型能客觀地反映聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅和頻率變化的規(guī)律。
2.遲滯非線性阻尼力2的數(shù)學(xué)模型
當(dāng)同時考慮振幅和頻率對遲滯阻尼力2的影響時，2將是振幅和頻率的函數(shù)，如果經(jīng)過參數(shù)辨識說明（3-14）形式的數(shù)學(xué)模型能合理地描述阻尼力，那么，在同時計及振幅和頻率對遲滯阻尼力2的影響時，我們?nèi)越⑦t滯阻尼力的數(shù)學(xué)模型表達(dá)式為（3-14）式的形式，不過其中各系數(shù)不僅是振幅A的函數(shù)而且還是頻率f的函數(shù)，建立的第二種數(shù)學(xué)模型仍以等效粘性阻尼來描述遲滯非線性阻尼，與(3-15）式所不同的是，在此建立聯(lián)軸器阻尼耗能的函數(shù)時，同時考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A和頻率f變化的規(guī)律，而在建立（3-15）式時僅考慮聯(lián)軸器遲滯回線面積隨振幅A的變化規(guī)律。為了敘述方便，這些問題在參數(shù)辨識一節(jié)中討論。這樣，這二種阻尼力模型為：
綜上所述，將（3-12）式與（3-18）式比較，將（3-14）～（3-15）式與（3-21）～（3-22）對應(yīng)式比較可知，后者同時考慮了振幅A和頻率f對聯(lián)軸器恢復(fù)力的影響，因而適用范圍較前者僅考慮振幅A的影響時更大，但后都數(shù)學(xué)表達(dá)式復(fù)雜，大大地增加了參數(shù)的辨識難度。由試驗研究知，頻率變化對恢復(fù)力影響范圍較小，為了簡化計算用（3-12）和（3-14）～（3-15）較好。
3-4 聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型參數(shù)辨識
本節(jié)將利用試驗數(shù)據(jù)，根據(jù)上節(jié)建立的聯(lián)軸器恢復(fù)力數(shù)學(xué)模型的類型，聯(lián)分別選用線性參數(shù)辨識方法和非線性參數(shù)辨識方法，按最小二乘法原理，辨識聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)，找出各參數(shù)與振幅和頻率的關(guān)系，得到聯(lián)軸器恢復(fù)力由彈性和阻尼力描述的函數(shù)關(guān)系式。
一、參數(shù)辨識的難點
聯(lián)軸器數(shù)學(xué)模型函數(shù)關(guān)系的復(fù)雜性以及函數(shù)關(guān)系式中參數(shù)的非線性都給參數(shù)辨識工作帶來困難。針對這些情況，對數(shù)學(xué)模型中某些參數(shù)隨振幅和頻率變化規(guī)律還不能給出表達(dá)式時，我們先求出這些模型在不同振幅和頻率下，各參數(shù)隨振幅和頻率變化的離散值，然后根據(jù)這些離散值隨振幅和頻率變化的規(guī)律，來定出函數(shù)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上再進(jìn)一步找出這些參數(shù)與振幅和頻率的函數(shù)關(guān)系，最后得到聯(lián)軸器恢復(fù)力與振幅、頻率、位移和速度的表達(dá)式。
二、參數(shù)辨識
1.辨識不考慮頻率影響數(shù)學(xué)模型的參數(shù)
不考慮頻率影響時聯(lián)軸器的數(shù)學(xué)模型為（3-12）～（3-15）式，
a.非線性彈性恢復(fù)力l數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識
此中情況下，l的表達(dá)式為（3-12）和（3-13）式。由這兩式可知，模型中含有九階的高次非線性彈性力，其各階動剛度K2i-1 (A）是振幅的函數(shù)，數(shù)學(xué)模型為一個n′階的冪函數(shù)多項式，K2i-1 (A）是各參數(shù)b0，2i-1～bn，2i-1 (i=1,2，…，5）的線性函數(shù)。于是各階動剛度K2i-1 (A）中各參數(shù)辨識可歸結(jié)以下最小二乘法問題：
已知K2i-1 (A）是關(guān)于自變量X=[A，A2，…An′]T和待定參數(shù)B=[ b0，2i-1，b1，2i-1，…，bn′，2i-1]T的形式已知的函數(shù)（3-13)，簡寫成：
K2i-1 (A）=f（X，B） （3-23）
今給出（X，K2i-1 ）的n對試驗值：
（XK，K2i-1，K） （k=1，2，…，n） （3-24）
要求確定參數(shù)B使
得一組線性方程組，在n>k的情況下，聯(lián)立求解這一線性方程組即可求得唯一的一組B值。根據(jù)此法求得（3-13）式中參數(shù)值并代回可得：
將（3-27）式中剛度函數(shù)作成曲線如圖3-3(a）-（e）所示，由一階動剛度函數(shù)圖3-3(a）可知，振幅在lmm～2mm范圍內(nèi)時，動剛度隨振幅增大而增大，呈硬特性；當(dāng)振幅在2mm～7mm范圍內(nèi)時，動剛度隨振幅增大而減小，呈軟特性；當(dāng)振幅在7mm～8mm范圍時，動剛度隨振幅增大略有回升。由此圖可知，在聯(lián)軸器初始小振幅和極限振幅附近范圍內(nèi)，動剛度呈硬特性，而在中間振幅范圍內(nèi)呈軟特性。K5（A）和K9（A）也具有類似的特性。而K3（A）和K7（A）在小振幅時呈軟特性，這樣的動剛度特性滿足船舶緩沖減振降噪的要求，即在一般低能量風(fēng)浪流作用下，該聯(lián)軸器鋼絲繩元件的變形小，動剛度大，呈硬特性，這能保證船舶推進(jìn)軸系的基頻高于風(fēng)浪流的顯著能量頻率；在大能量風(fēng)浪流和沖擊作用下時，聯(lián)軸器由于載荷增大而變形增大，這種情況下動剛度軟化，使船舶推進(jìn)軸系頻率變小，向遠(yuǎn)離大能量風(fēng)浪流和沖擊顯著能量頻率一側(cè)偏移，在遲滯阻尼下耗散能量，使軸系沖擊振動響應(yīng)降低。由（3-27）式和（3-12）式可作出相應(yīng)的彈性恢復(fù)力單值曲線如圖3-4所示。將圖3-4中代表彈性恢復(fù)力的單值曲線與圖3-2中的單值曲線比較可知，(3-12）式能較好地描述聯(lián)軸器彈性恢復(fù)力隨振幅變化的規(guī)律。
b.非線性阻尼力數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的辨識
此情況下，建立了二種數(shù)學(xué)模型（3-14）式和（3-15）式。對于（3-14）式描述的模型，2是參數(shù)n的非線性函數(shù)，因此，在進(jìn)行參數(shù)辨識時，需要用非線性參數(shù)的辨識方法。此時，這種模型中各參數(shù)的辨識可歸結(jié)為如下的最小二乘法問題：
已知2是關(guān)于自變量X=[x1，x2，…，xp]T和待定參數(shù)B=[b1，b2，…，bm]T的形式已知函數(shù)（3-14）式，簡寫成：
2=f（X，B） （3-28）
對于給定的n組試驗數(shù)據(jù)值（Xk，2k），要求確定參數(shù)B使
為最小。對于這種非線性參數(shù)識別，很難直接進(jìn)行求解，通常采用逐次逼近的方法處理，在此采用高斯-牛頓法來辨識。高斯-牛頓法的基本思想是：先給出各參數(shù)bi的一個初始值，記為
，初值與真值之差為△i，即有：
bi=+△i （i=1，2，…，m） （3-30）
這樣，確定bi的問題就變成了確定△i的問題。為確定bi，在鄰域內(nèi)將函數(shù)f（X，B）作代臺勞級數(shù)展開，并略去△i的二次及二次以上項得：
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