當
給定時，fko和
fko/bi都是自變量X的函數(shù)，可直接算出，將（3-31）式代入（3-29）得：
由多元函數(shù)極值存在的必要條件：
得以△i為未知量的一組m個聯(lián)立方程組
當試驗數(shù)據值（Xk，
2k），（k=1，2，…，n）和初始近似值bi(0)(i=1,2,...,m)給定后，系數(shù)aij及
均可算出，因此由方程組可解出△i，進而得bi的值。當算出的|△t |值較大的時，可令當前的bi值代替原來的初始近似值，重復計算aij，，并解方程組（3-36）得新的△i，進而得bi。這種過程可以重復進行，直至|△t |的值小到給定的精度為止。
對于非線性參數(shù)辨識問題，并在不于迭代工作量有多大，而是在迭代逼近過程中是否收斂，即迭代過程有可能不按上述方式完成，出現(xiàn)計算溢出，方程組系數(shù)矩陣病態(tài)等毛病．出現(xiàn)這些問題的原因大致有三種：一是逼近試驗數(shù)據點（Xk，2k）的數(shù)學模型假設與數(shù)據點甚遠，在這種情況下，必然重新分析系統(tǒng)的內在機理，建立符合系統(tǒng)特性的新數(shù)學模型；另一種是初值選得不好，臺勞級數(shù)展開式完全失真，迭代得到的新bi有可能比原來的更遠離真解，且越迭代越糟糕，最后發(fā)散，在這種情況下，迭代是否收斂，關鍵在于初值的選擇；第三種是參數(shù)辨識的算法不適合或對初值選取的要求太高，在這種情況下，需選擇更合適的算法或選擇對初值選取要求較低的算法。
按照以上算法，編制了計算機軟件對（3-14）模型中的參數(shù)進行了辨識，結果討論如下：
對（3-14）模型，用不同振幅下聯(lián)軸器試驗數(shù)據中代表阻尼力的數(shù)據來進行參數(shù)辨識，辨識結果是迭代計算不收斂，分析其原因，我們認為，一是因為需辨識的參數(shù)較多，初始值不易選得與真值較接近，致使迭代不成功；二是此算法可能不適合此模型的參數(shù)辨識。因此，有待于尋找能辨識數(shù)學模型表達式中參數(shù)的新的有效辨識方法。
第二種模型是（3-15）式，在這種情況下，用阻尼耗能的能量關系來辨識阻尼力與振幅等參數(shù)的關系。由圖3-1可知，聯(lián)軸器每振動一周所消耗的能量，即遲滯回線的面積S是振幅A的函數(shù)。由數(shù)值積分，可以算出各振幅變化時遲滯回線面積，由此可得遲滯回線面積與振幅的一一對應關系，將這些一一對應的數(shù)據點畫成圖，如圖3-5中大圓點曲線所示，由此分析遲滯回線面積隨振幅變化的規(guī)律，可建立其函數(shù)關系為：
Sga（A）=asAbs （3-38）
式中as和bs為待辨識參數(shù)。由（3-38）可知，面積是參數(shù)bs的非線性函數(shù)，參數(shù)辨識時用非線性參數(shù)辨識方法，高斯-牛頓法，辨識結果為as=2.56969，bs=1.62309，代回（3-38）式并畫出曲線如圖3-5中小點曲線所示。由此可以看出，(3-38）式能較好地描述遲滯回線面積（即聯(lián)軸器阻尼耗能）隨振幅變化的規(guī)律．在用等效粘性阻尼來代替遲滯非線性阻尼的情況下，在具有相同振幅的正弦振動時，每周由等效粘性阻尼力耗散的能量為：
因為Sga=We，由（3-38）與（3-39）可得聯(lián)軸器阻尼函數(shù)C（A，ω）：
將（3-40）式代入（3-15）式得聯(lián)軸器阻尼力模型：
值得注意的是此阻尼力模型的參數(shù)辨識是在研究阻尼耗能過程中，僅考慮振幅對耗能的影響下得出的，而沒有考慮頻率對耗能的影響，式中頻率項的出現(xiàn)是由于用等效粘性阻尼代替遲滯非線性阻尼所致。將（3-41）式畫成曲線得圖3-4中各橢圓，與圖3-2中的閉合曲線相比較可知（3-41）式較好地描述了遲滯非線性阻尼力。將（3-11）、（3-27）和（3-41）式代人（3-8）式即，得聯(lián)軸器恢復力數(shù)學模型的函數(shù)表達式。
2.辨識考慮頻率影響數(shù)學模型的參數(shù)
考慮頻率影響時聯(lián)軸器的數(shù)學模型為（3-17）-（3-22）式。
a.非線性彈性恢復力Ql數(shù)學模型中參數(shù)的辨識
此情況下，1的表達式為（3-18）-（3-19）式，由于數(shù)學模型中參數(shù)辨識的復雜性以及待辨識參數(shù)的非線性性，在辨識過程中，先辨識出在不同振幅和頻率下模型中的各參數(shù)α2i-1，β2i-1和γ2i-1，然后根據這些參數(shù)離散散值隨頻率變化的規(guī)律，建立它們與頻率之間的函數(shù)關系，再辨識這些函數(shù)關系式中的各參數(shù)，從而得到α2i-1 (f)，β2i-1（f）和γ2i-1 (f）的函數(shù)表達式，最后得到動剛度
2i-1（A，f）隨頻率和振幅變化的數(shù)學模型和彈性恢復力教學模型。
我們用高斯-牛頓法的最小二乘法來辨識，辨識結果是迭代計算不收斂，分析原因認為：迭代計算不收斂，一是初值選擇不合理，二是此算法對初值要求太高。盡管如此，但根據對聯(lián)軸器非線性彈性恢復力隨頻率變化的規(guī)律分析，我們仍認為用（3-18）式來描述聯(lián)軸器彈性恢復力l=（x,A，ω）是客觀的和合理的，式中未知參數(shù)的辨識有待于尋找新的有效的辨識算法。
b.非線性阻尼力2數(shù)學模型中參數(shù)的辨識
此情況下，建立的數(shù)學模型為（3-21）-（3-22）式。對（3-21）式，辨識所用方法和試驗數(shù)據與辨識（3-14）式相同，所得結果是迭代計算不收斂，究其原因, 認為是所用辨識算法不適合此模型的參數(shù)辨識，同時此算法對初值的要求比較高。
為了解決以上未決的參數(shù)辨識問題，我們又用了一種算法，Marquardt算法對（3-14）、（3-18）和（3-21）模型進行了參數(shù)辨識，迭代計算仍不收斂。為了解決這一問題有待進一步尋找有效的辨識算法。
對于（3-22)模型，我們用阻尼耗能的能量關系來辨識阻尼力與振幅和頻率的關系。在前面，遲滯回線面積（即阻尼耗能）與振幅的函數(shù)關系已建立起來，見（3-38）式，而且式中參數(shù)也已辨識出。同樣，用數(shù)值積分，可以算出振幅一定，頻率變化時遲滯回線的面積，由此得出遲滯回線面積與頻率的對應關系，將這些對應關系畫成曲線如圖3-6中大圓點曲線所示。由遲滯回線面積隨頻率變化的規(guī)律分析，可建立其函數(shù)關系為：
Sgf（f）=affbf （3-42）
式中af和bf為待辨識參數(shù)。由此式知，面積是參數(shù)bf的非線性函數(shù)，用高斯-牛頓法辨識得af=3.40234,bf=-0.0684433，代回（3-42）式并畫曲線如圖3-6中小點曲線所示。由此可知，(3-42）式能較好地描述遲滯回線面積隨頻率變化的規(guī)律，阻尼耗散的能量隨頻率的增大而減小。綜合考慮（3-38）和（3-42）式中阻尼耗散的能量隨振幅和頻率變化的規(guī)律可知，阻尼耗能隨振幅的增大而增大，隨頻率的增大而減小，由此可建立聯(lián)軸器阻尼耗能（即遲滯回線面積）隨振幅A、頻率f變化的數(shù)學模型如下：
式中ag,p,q為待定參數(shù)。由此式可知，聯(lián)軸器阻尼耗能是振幅和頻率的非線性函數(shù),也是參數(shù)p,q的非線性函數(shù)。在辨識時，采用高斯-牛頓法。根據（3-38）、(3-42）兩式及其參數(shù)，可知（3-43）中αg參數(shù)的變化域在（2.56969,3.40234）內，q值在1.62309附近，而p值大約在0.068443附近，據此分析，三個參數(shù)的初值分別選為：
=3.0，q(0)=1.0，p（0)＝0.1
將這三個初值輸人程序進行運算，一次計算成功，三個參數(shù)值為：
αg=3.382818，q=1.451636，p=0.06649397 (3-44)
將這些參數(shù)代人（3-43）式即得聯(lián)軸器阻尼耗能隨振幅和頻率變化的函數(shù)關系式。
根據等效原理（3-34）式和Sg=We以及（3-44) 式可得等效粘性阻尼函數(shù)為：
將（3-44）、（3-45）式代入（3-22）式得阻尼力數(shù)學模型為
作出（3-46）式的曲線圖如圖3-7中橢圓所示，將圖3-7中橢圓與圖3-4中對應橢圓相比較可知，式（3-46）能較好地描述非線性遲滯阻尼力。
3-5 關于聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識的進一步研究
一、數(shù)學建模與參數(shù)辨識
在對前面關于聯(lián)軸器建模與參數(shù)辨識工作進行思考和對聯(lián)軸器試驗結果進行進一步深人分析后，提出聯(lián)軸器恢復力數(shù)學模型新表達式：
即恢復力(A,f,x，
）是振幅A、激勵頻率f、瞬態(tài)位移x和瞬態(tài)速度的函數(shù)，或者說恢復力Q是剛度函數(shù)K1（A），K3（A），K5（A）和阻尼函數(shù)C(A,f）以及阻尼成分函數(shù)n(A,f）的函數(shù)，其中阻尼成分函數(shù)n(A,f）描述阻尼的組成情況，n（A,f）=0時，阻尼為干摩擦阻尼，n(A,f)=1時，為粘性阻尼，0＜n（A,f)<1時，阻尼由粘性阻尼和干摩擦阻尼組成，n（A,f)>1時，阻尼成為“高階”阻尼。對于（3-47)式，當振幅與頻率一定時，式中的Kl（A），K3（A)，K5（A）和n（A,f）均為定數(shù)，當振幅A和頻率變化時，它們均是函數(shù)，因此參數(shù)辨識實質上是參數(shù)函數(shù)的辨識。首先我們用非線性參數(shù)辨識方法Marquardt法，根據試驗所得的數(shù)據，按照（3-47）式對每一遲滯回線進行參數(shù)辨識，可以得到對應的K1（A)，K3（A），K5（A),C(A,f)和n（A,f）值，對每種工況下的數(shù)據隨振幅和頻率變化趨勢進行分析后，可以建立剛度函數(shù)、阻尼函數(shù)和阻尼成份函數(shù)的數(shù)學表達式為：
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