第五章 不對(duì)中齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)彎扭耦合振動(dòng)力學(xué)模型
5.1 引言
在第二、第三章推導(dǎo)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程時(shí)，采用了幾個(gè)基本假設(shè)，其中有一個(gè)條件是“聯(lián)軸器各內(nèi)外齒承載相同”，這個(gè)條件隱含了這樣一個(gè)事實(shí)“內(nèi)齒套軸線和外齒輪軸線間是在對(duì)中的條件下進(jìn)行線性化的”，這一假設(shè)也是被山內(nèi)進(jìn)吾[32]、Marmol[34]和Kramer[35]等所普遍采用的。而齒輪聯(lián)軸器在使用過程中，內(nèi)外齒輪軸線間有時(shí)會(huì)出現(xiàn)不對(duì)中或產(chǎn)生動(dòng)態(tài)偏移的情況，在這種情況下各齒所分擔(dān)的載荷要發(fā)生變化，按嚙合理論[100]二者的嚙合關(guān)系應(yīng)為如圖5.1所示，此時(shí)只有很少的幾個(gè)齒對(duì)嚙合（具體由重合度來確定嚙合的齒對(duì)數(shù)）。實(shí)際上即使在對(duì)中的條件下，如果考慮輪齒的誤差也會(huì)發(fā)生上述情況。日本學(xué)者Ssigeo[73]分析了齒輪聯(lián)軸器輪齒的誤差后得出了一套計(jì)算公式，通過計(jì)算可知，當(dāng)m=3，Z=56時(shí)，其極限情況只有不到4對(duì)齒接觸。工程實(shí)際的分析和試驗(yàn)[63,69]表明，一些采用齒輪聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)會(huì)程度不同地產(chǎn)生倍頻的振動(dòng)分量，而這一倍頻分量的出現(xiàn)正是齒輪聯(lián)軸器不對(duì)中的典型特征，因此有必要進(jìn)行相誚的分析。以往在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的分析中，有關(guān)彎扭耦合振動(dòng)方面的研究未見報(bào)道。
本章重點(diǎn)討論齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線間具有動(dòng)態(tài)不對(duì)中時(shí)系統(tǒng)的建模問題，有關(guān)二軸線間存在靜態(tài)不對(duì)中時(shí)的情形，我們將在第七章作詳細(xì)地分析。本章的內(nèi)容安排如下：首先根據(jù)內(nèi)外齒輪的齒面方程和不脫齒的嚙合條件，推導(dǎo)了齒輪聯(lián)軸器所滿足的約束方程，然后由拉格朗日方程，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程，并分析了產(chǎn)生彎扭耦合的原因。
5.2 漸開線直齒內(nèi)齒輪副（零齒差）傳動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析
設(shè)Si（oixiyizi）坐標(biāo)系是與內(nèi)齒套固連的動(dòng)坐標(biāo)系，如圖5.2所示。xi軸與內(nèi)齒套某一齒的一側(cè)齒形相交于基圓（半徑為rb）上，z軸與內(nèi)齒套軸線重合，oi為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)S（oxyz）坐標(biāo)系為固定坐標(biāo)系，則有
同理設(shè)Se（oexeyeze）坐標(biāo)系是與外齒輪固連的動(dòng)坐標(biāo)系，可得
在動(dòng)坐標(biāo)系中，漸開線直齒齒面上任意一點(diǎn)P的齒面方程（內(nèi)齒套）為
式中 γk=α+βk k=i,e
將（5.3）式代入（5.1）式得
在S坐標(biāo)系中，內(nèi)齒套齒面上P點(diǎn)的法線向量和速度分別為
同理可得，外齒輪上p′點(diǎn)的法線向量和速度為
不脫齒輪嚙合的條件為
由此可得
其中：A為兩輪中心連線的長(zhǎng)度，即
積分（5.10）式即得
（θi-θe）2=[（xji-xje）2+（yje-yje）2]/rb2 （5.11）
設(shè)β角是連心線與x軸之間的夾角，參見圖5.1，則有
實(shí)際上在S系中p和p′的對(duì)應(yīng)坐標(biāo)應(yīng)相等，由此可方便地得到
β+π/2=γ+θi+γi=γ+θe+γe （5.13）
上式表明嚙合線與連心線是平行的，這一結(jié)論與文獻(xiàn)[100]相同，這從另一個(gè)側(cè)面驗(yàn)證了（5.10）式、（5.11）式的正確性。以上的嚙合關(guān)系與外齒輪嚙合具有類似的形式，只不過在齒輪聯(lián)軸器中，內(nèi)外齒輪的基圓半徑是相等的。由式（5.13）可以得
在上式中，如果轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Ω是勻速的，并且
k=i,e是小量時(shí)，則
此時(shí)，β是以Ωt加上一個(gè)微小變化的轉(zhuǎn)角。這樣內(nèi)齒套、外齒輪及二軸中心線的連線均是以軸的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度Ω加上一個(gè)微小變化的量旋轉(zhuǎn)的。
5.3 半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)彎扭耦合的動(dòng)力學(xué)分析
軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程的建立可參考文獻(xiàn)[90]，下面主要討論在齒輪嚙合處運(yùn)動(dòng)方程的建立。由齒輪聯(lián)軸器連接的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)見第三章的圖3.1，由一對(duì)齒數(shù)相等的內(nèi)嚙合齒輪和左右二段軸組成。設(shè)oxyz是固定坐標(biāo)系，oξηz是旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系，Ω是圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度。
如果將（5.11）式變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系oξηz中，則有
設(shè)
βR表示在旋轉(zhuǎn)軸系中，內(nèi)外齒輪中心連線與ξ軸之間的夾角。因?yàn)?/p>
β是內(nèi)外齒輪連心線與x軸的夾角。
從而可得
由此可見βR與β相差一個(gè)Ωt。
5.3.1 圓盤的運(yùn)動(dòng)及其動(dòng)能計(jì)算
圓盤的運(yùn)動(dòng)可分解成隨其質(zhì)心的平動(dòng)和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)。質(zhì)心o1的平動(dòng)位移為（xc，yc），不計(jì)沿z軸方向的運(yùn)動(dòng)。圓盤繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)可用三個(gè)歐拉角來表示，如圖5.4所示。設(shè)o1XYZ是與oxyz平行的坐標(biāo)系。o1XYZ坐標(biāo)系的單位矢量為
，o1xmymzm系的單位矢量為
，（m=1，2，3），則圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)由如下三個(gè)步驟完成：
（1）繞o1Z軸轉(zhuǎn)Θ至o1x1y1z1；
（2）繞o1x1軸轉(zhuǎn)-ε至o1x2y2z2；
（3）繞o1y2軸轉(zhuǎn)δ至o1x3y3z3；
在各坐標(biāo)系中，單位矢量之間的關(guān)系
圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度
在轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，自轉(zhuǎn)角Θ=Ωt+θ，以上偏角ε，δ，θ，ψ，φ均是小量，則可得出如下關(guān)系
圓盤的動(dòng)量矩
對(duì)于圓盤，其動(dòng)能包括平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能
其中
5.3.2 旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程
在小擾動(dòng)下滿足關(guān)系式（5.15），再由式（5.11）和式（5.16）可得
rb2（θji-θje）2=（ξji-ξje）2-（ηji-ηje）2 （5.26）
其中下標(biāo)變量je、ji分別表示第j個(gè)結(jié)點(diǎn)處外齒輪和內(nèi)齒輪。
上式是一個(gè)反應(yīng)齒輪嚙合處內(nèi)外齒輪的扭轉(zhuǎn)擾動(dòng)角和橫向位移之間的約束關(guān)系，而且是一個(gè)完整約束。對(duì)于具有復(fù)雜約束關(guān)系的多自由度系統(tǒng)，利用拉格朗日方程來建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程具有許多優(yōu)點(diǎn)，因此被廣泛采用。
半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動(dòng)能包括內(nèi)外齒輪的平動(dòng)動(dòng)能和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能；彈性勢(shì)能包括左右軸段的彈性勢(shì)能和半齒輪聯(lián)軸器的彈性勢(shì)能；耗散函數(shù)包括內(nèi)外齒輪之間的橫向內(nèi)阻尼和轉(zhuǎn)角內(nèi)阻尼，由于扭轉(zhuǎn)內(nèi)阻尼較小可將其忽略，具體的分析過程可參見第三章3.2.2和3.2.3節(jié)。這樣取q=ξje，ηje，δje，εje，θje，ξji，ηji，δji，εji為廣義坐標(biāo)，將以上的約束方程（5.26）式代入半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的動(dòng)能，勢(shì)能及耗散函數(shù)中，消去多余的變量θji，再由拉格朗日方程就可以得到在齒輪嚙合處的運(yùn)動(dòng)微分方程。由于推導(dǎo)過程比較冗長(zhǎng)，在此僅列出最終的運(yùn)動(dòng)微分方程。對(duì)于小偏離情況，將其中的高階小量略去，則對(duì)于第j個(gè)結(jié)點(diǎn)（其中外齒輪下標(biāo)為e，內(nèi)齒套下標(biāo)為i）
（5.27）式、（5.28）式中所定義的Ω方向與Z軸方向相同，當(dāng)Ω方向與Z軸方向相反時(shí)，Ω以-Ω代入即可。從上式可見，方程系數(shù)矩陣中的元素與βE有關(guān)，而βR又與系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)有關(guān)，因此方程是非線性的。只有在βR變化很小時(shí)才能進(jìn)行線性分析。
通過上述過程，得到了半聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，再與其他各結(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程集合在一起，就得到轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。然而，對(duì)于旋轉(zhuǎn)機(jī)械，在轉(zhuǎn)子的某處總存在著軸承，即形成軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，這樣就需要引入支承條件，具體的做法是只要在轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)上具有軸承支承的自由度處用廣義力（即軸承油膜力）來反映支承的影響。以滑動(dòng)軸承為例，經(jīng)過線性化處理后的油膜力在固定坐標(biāo)系中可表示為
其中kxx，kxy，kyx，kyy為油膜剛度系數(shù)，dxx，dxy，dyx，dyy為油膜阻尼系數(shù)。
變換到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中以后
由此得
式中
其中
是與時(shí)間有關(guān)的（即其中的每個(gè)元素均是Ωt的正弦和余弦函數(shù)），只要將上面的
加到相應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的運(yùn)動(dòng)方程的左邊，即可得到在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。
一個(gè)特例是當(dāng)油膜剛度系數(shù)和阻尼系數(shù)采用如下關(guān)系
kxx=kyy=k kxy=kyx=0 dxx=dyy=d dxy=dyx=0 （5.34）
則得
動(dòng)態(tài)油膜力為
此時(shí)動(dòng)態(tài)油膜力不隨時(shí)間而變化。
如果在某些情況下，不能將滑動(dòng)軸承的油膜力線性化或者因線性化而帶來較大誤差，那么可以采用非線性油膜力模型。
對(duì)于軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)而言，彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是整個(gè)軸系振動(dòng)的兩個(gè)部分，以往在分析此類系統(tǒng)時(shí)往往把二者分割開來，原因是用來表征它們運(yùn)動(dòng)的廣義坐標(biāo)是解耦的，但在大型的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中加入了齒輪聯(lián)軸器之后，系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)就耦合起來了，不能再把二者分割開來。
這樣集總后的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。簡(jiǎn)寫為
其中 {ζ}—系統(tǒng)的位移、轉(zhuǎn)角列陣
[M]—廣義質(zhì)量矩陣
[C]—包括阻尼陣、陀螺力陣、科氏慣性力陣等
[K]—包括剛度陣、牽連慣星力陣等
以上在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)中建立了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)微分方程，這樣就可以深入地探討聯(lián)軸器內(nèi)齒套和和外齒輪之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)關(guān)系以及齒輪聯(lián)軸器在整體系統(tǒng)中的影響。
系統(tǒng)方程的無量綱化過程可參見第三章3.5節(jié)。
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