5.4 彎扭耦合運(yùn)動(dòng)的討論
（1）在純扭轉(zhuǎn)情況下，由于內(nèi)外齒輪的嚙合關(guān)系表現(xiàn)為傳動(dòng)比是恒定的，即
ji/je=1.，雖然這個(gè)關(guān)系在山內(nèi)進(jìn)吾[32]、Marmol[34]和KANEMITSU[38]等人的研究中未曾明確指出，但實(shí)質(zhì)上上式正是他們所處理的齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)振動(dòng)問(wèn)題的出發(fā)點(diǎn)，據(jù)此將扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)分開(kāi)處理。
（2）在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)和彎曲振動(dòng)同時(shí)發(fā)生時(shí)，i與e的關(guān)系（參見(jiàn)式（5.11）或式（5.26））不再滿(mǎn)足上述關(guān)系。從分析力學(xué)的角度出發(fā)，這個(gè)關(guān)系實(shí)質(zhì)上是對(duì)系統(tǒng)施加了一完整個(gè)約束。這個(gè)約束關(guān)系將表征齒輪扭轉(zhuǎn)的扭轉(zhuǎn)角和表征齒輪質(zhì)心橫向運(yùn)動(dòng)的位移聯(lián)系了起來(lái)，正是這個(gè)關(guān)系才使得彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合了起來(lái)。
（3）從以上推導(dǎo)得的方程式（5.38）可知，軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)不僅在彈性項(xiàng)出現(xiàn)耦合，而且存在慣性耦合。從以上的約束關(guān)系不難想象，如果考慮了齒輪聯(lián)軸器的扭轉(zhuǎn)內(nèi)阻尼，那么此時(shí)阻尼項(xiàng)也一定會(huì)出現(xiàn)彎扭耦合的現(xiàn)象。因此這是一典型的動(dòng)力耦合問(wèn)題。
（4）耦合不僅出現(xiàn)在所考慮的第j個(gè)結(jié)點(diǎn)上（包括內(nèi)齒套、外齒輪），而且還影響到j(luò)+1個(gè)結(jié)點(diǎn)上，由于第j+1個(gè)結(jié)點(diǎn)又與第j+2個(gè)結(jié)點(diǎn)是耦合的，因此整個(gè)系統(tǒng)方程是全耦合的。
（5）雖然質(zhì)量矩陣和剛度矩陣出現(xiàn)耦合，但在整體系統(tǒng)方程中在齒輪嚙合處仍呈現(xiàn)出對(duì)稱(chēng)性，這與平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)[18]有所不同，在平行軸齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)中質(zhì)量矩陣和剛度矩陣是非對(duì)稱(chēng)的。彎扭耦合的慣性效應(yīng)體現(xiàn)在對(duì)質(zhì)量陣的修正上，修正項(xiàng)為Jjiz/rb2，設(shè)Jjiz=mjiρ2，其中ρ為內(nèi)齒套的回轉(zhuǎn)半徑，一般而言?xún)?nèi)齒套的質(zhì)量比外齒輪的質(zhì)量要大許多，而且內(nèi)齒套的質(zhì)量又主要集中在外圈，因此ρ比rb要大，故Jjiz/rb2比mjk，（k=i,e）大得多，這樣對(duì)質(zhì)量陣的修正非常明顯；彈性耦合由于齒對(duì)的剛度較大，而軸的扭轉(zhuǎn)剛度相對(duì)要小一些，因此對(duì)剛度陣的修正相對(duì)要小一些。
（6）彎扭耦合后，運(yùn)動(dòng)微分方程只在某些情況下可以進(jìn)行線性分析，例如在滿(mǎn)足βR變化很小等條件，而在一般情況下系統(tǒng)方程則是非線性的，對(duì)此將在下一章中進(jìn)行較深入的討論。如果將其寫(xiě)成如式（5.38）所示的擬線性形式，則不僅剛度陣是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，而且質(zhì)量陣也是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，這在轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)中是比較少見(jiàn)的，因此在討論此類(lèi)問(wèn)題時(shí)就非常困難。傳統(tǒng)上在進(jìn)行非線性分析時(shí)，往往將式（5.38）寫(xiě)成“狀態(tài)方程”的形式，由于涉及到質(zhì)量陣的求逆運(yùn)算以及方程數(shù)目的成倍增加，所以計(jì)算工作量是比較大的。
在以往的彎扭耦合振動(dòng)研究中[16,18,56,101,102,103]，主要集中在以下二個(gè)方面：1）由于轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不平衡而產(chǎn)生的彎扭耦合現(xiàn)象[56,102]。2）具有外齒輪嚙合多平行軸的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中[16,18,101,103]。由于不平衡產(chǎn)生的彎扭耦合可以通過(guò)精細(xì)的平衡來(lái)消除，從理論上來(lái)講，平衡轉(zhuǎn)子不存在彎扭耦合。而在具有齒輪嚙合的多平行軸系統(tǒng)中，彎扭耦合是無(wú)法消除的，因此齒輪耦合逐漸成為研究的重點(diǎn)。通過(guò)上面的推導(dǎo)，可以發(fā)現(xiàn)彎扭耦合在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中同樣存在，而且耦合關(guān)系非常復(fù)雜，與具有齒輪耦合的多平行軸軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)相比，從結(jié)構(gòu)上來(lái)看具有明顯的不同，在多平行軸的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)中，各轉(zhuǎn)子平行布置一般比較短，扭轉(zhuǎn)剛度大，軸系的扭轉(zhuǎn)固有頻率比彎曲固有頻率大，此時(shí)彎曲振動(dòng)是轉(zhuǎn)子振動(dòng)的主要形式。但是在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中，系統(tǒng)由多個(gè)轉(zhuǎn)子串聯(lián)而成，因此整體系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)剛度成倍降低，軸系的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)問(wèn)題愈顯突出，文獻(xiàn)[104]指出在過(guò)去的二十年中，在國(guó)內(nèi)和國(guó)外均發(fā)生過(guò)由于扭振而出現(xiàn)大型機(jī)組被毀事件。這充分說(shuō)明了這樣一個(gè)問(wèn)題，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)已成為由聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動(dòng)研究中一個(gè)不可缺少的內(nèi)容。因此在軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)中進(jìn)行彎扭耦合振動(dòng)研究具有重要的實(shí)用價(jià)值。另外由于彎扭耦合作用，可以對(duì)以前未被發(fā)現(xiàn)和雖然在實(shí)際系統(tǒng)中存在但用傳統(tǒng)理論無(wú)法解釋的振動(dòng)現(xiàn)象進(jìn)行深入地研究，以便為此類(lèi)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和故障診斷提供必要的理論依據(jù)。
5.5 軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程
以上我們建立了半聯(lián)軸器系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而在實(shí)際系統(tǒng)中往往是由二對(duì)內(nèi)外齒輪同時(shí)嚙合傳動(dòng)（例如CL和CLZ型齒輪聯(lián)軸器），軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)如圖5.5所示。
以上系統(tǒng)中有兩個(gè)半聯(lián)軸器組成，從上一節(jié)的推導(dǎo)中，可以看出在系統(tǒng)中存在二個(gè)約束方程，因此系統(tǒng)的自由度數(shù)要減少二個(gè)。對(duì)于圖5.5所示系統(tǒng)，在結(jié)點(diǎn)4和結(jié)點(diǎn)5存在齒輪嚙合，因此約束方程為
在式（5.27）和式（5.28）中，由于包含了θj+1（即為圖5.5中的θ5i）。而θ5i又必須要滿(mǎn)足以上的約束關(guān)系，所以可以想象在考慮了二個(gè)半聯(lián)軸器后，耦合關(guān)系更為復(fù)雜。但處理的方法是類(lèi)同的，具體過(guò)程在此不再重復(fù)了。整個(gè)系統(tǒng)有8個(gè)結(jié)點(diǎn)，共48個(gè)自由度。下面僅列出結(jié)點(diǎn)4處的運(yùn)動(dòng)微分方程。
結(jié)點(diǎn)4外齒輪處
結(jié)點(diǎn)4內(nèi)齒套處
同理可以寫(xiě)出結(jié)點(diǎn)5內(nèi)外齒輪處的運(yùn)動(dòng)微分方程，在此從略。
5.6 小結(jié)
本章討論了在聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪軸線出現(xiàn)不對(duì)中或產(chǎn)生動(dòng)態(tài)偏移時(shí)，軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程的建立過(guò)程，并對(duì)彎扭耦合進(jìn)行了簡(jiǎn)單的分析，主要的工作和結(jié)論如下：
（1）根據(jù)內(nèi)、外齒輪的齒面方程和不脫齒的嚙合條件，推導(dǎo)了齒輪聯(lián)軸器的約束方程，這一約束方程體現(xiàn)了彎曲（或橫向）位移和扭轉(zhuǎn)擾動(dòng)角之間的耦合關(guān)系。
（2）由拉格朗日方程，在旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中建立了半聯(lián)軸器的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程，并闡述了軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)方程的建立過(guò)程。
（3）彎扭耦合后，系統(tǒng)不僅存在彈性耦合而且存在慣性耦合，但在整體系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程仍然具有對(duì)稱(chēng)性。
（4）建立了CL型齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的彎扭耦合運(yùn)動(dòng)方程，為深入探討具有齒輪聯(lián)軸器連接的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為作了理論準(zhǔn)備。
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